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Vollständige Induktion einer Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion, Ungleichung

PV999 aktiv_icon

01:20 Uhr, 19.02.2019

Hallo ich bräuchte Hilfe bei Folgender Aufgabe:

Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen

n

Element

N

folgende Ungleichung gilt:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} ... . .

\frac{2 n - 1}{2 n} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}}

.

Der Induktionsanfange währe ja zb.

n = 1

zu sagen, woraus sich eine wahre Aussage ergibt.

Als nächstes im Induktionschritt legt man jetzt, soweit ich das verstanden habe

n = k + 1

fest, also:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} ... . .

\frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}}

.

Aber wie gehts nun weiter ?
MfG Jan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

vielevielefragen aktiv_icon

02:16 Uhr, 19.02.2019

Du nimmst an, dass die Aussage für ein beliebiges

n

gilt und zeigst, hier im Induktionsschritt, dass es auch für den Nachfolger

n + 1

gilt.

Du musst also die Induktionsvorraussetzung anwenden.

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot . .

\cdot \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2}

HAL9000

10:42 Uhr, 19.02.2019

Letztendlich besteht der Induktionsschritt aus einer Ungleichungskette, in die die Induktionsvoraussetzung (IV) eingeht, aber nicht nur die:

\frac{1}{2} \cdot \dots \cdot \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \overset{(I V)}{\leq} \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \overset{?}{\leq} \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}}

.

D.h., der Induktionsschritt ist vollbracht, sofern die Ungleichung

\overset{?}{\leq}

auch tatsächlich begründet werden kann! Um das zu verifizieren formt man diese (noch) fragliche Ungleichung

\frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \overset{?}{\leq} \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}}

solange äquivalent um, bis man zu einer gesichert wahren Aussage gelangt.

anonymous

12:36 Uhr, 19.02.2019

schau mal...

HAL9000

13:56 Uhr, 19.02.2019

Ja, so kann man das begründen. Wobei die Abtrennung des Summanden

k

im Nenner didaktisch ein wenig vom Himmel fällt... Kurzum, es geht um die Gültigkeit der Ungleichung

(2 k + 1)^{2} (3 k + 4) \leq (2 k + 2)^{2} (3 k + 1)

,

und die wird z.B. nach dem Ausmultiplizieren klar.

PV999 aktiv_icon

16:06 Uhr, 19.02.2019

Ganz Verstanden hab ichs immer noch nicht, aber ich probiers jetzt hier nochmal.

A (n) := \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... . \cdot \frac{2 n - 1}{2} n \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}}

Induktionsanfang:

A (1) = \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 1 + 1}} = \frac{1}{2},

Wahr

Induktionsschritt:

IV:

A (n) \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}}

IB:

A (n + 1) \leq \frac{1}{\sqrt{3 \cdot (n + 1) + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}}

\Rightarrow A (n + 1) = A (n) \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}};

(versteh hier nicht ganz, wieso

\frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}},

dachte das müsste das gleiche sein? Hab jtzt einfach mal HAL9000 vertraut.)

\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}} \Leftrightarrow (3 n + 1) \cdot {(2 n + 2)}^{2} \leq (3 n + 4) \cdot {(2 n + 1)}^{2}

\Rightarrow 12 n^{3} + 28 n^{2} + 20 n + 4 \leq 12 n^{3} + 28 n^{2} + 19 n + 4

und das ist ja keine wahre Aussage. Also irgendwas stimmt hier noch nicht so ganz.

anonymous

16:36 Uhr, 19.02.2019

das Ungleichheitszeichen ist falsch... - gerade ungekehrt!

PV999 aktiv_icon

17:29 Uhr, 19.02.2019

Achso, das Ungleichheitszeichen dreht sich, da

n

ja positiv ist, beim Umstellen, als ich den Kehrwert bilde, richtig?

HAL9000

09:33 Uhr, 20.02.2019

> dachte das müsste das gleiche sein

Wenn es gleich WÄRE, dann klappt der Beweis auch, ja. Ist es aber nicht, es gilt (für

n \geq 1

) tatsächlich nur

<

, was aber für den Beweis auch genügt.

> Achso, das Ungleichheitszeichen dreht sich, da

n

ja positiv ist, beim Umstellen, als ich den Kehrwert bilde, richtig?

So ist es. Und eigentlich musst du hier gar keinen Kehrwert bilden, wenn du nur konsequent die Nenner wegmultiplizierst.

PV999 aktiv_icon

16:06 Uhr, 21.02.2019

Dann ist jetzt erstmal alles geklärt, vielen Dank!

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