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Vollständige Induktion mit Binomialkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Sonstig

 
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MatheLegende

MatheLegende aktiv_icon

16:35 Uhr, 30.06.2020

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Hallo zusammen,

ich habe Schwierigkeiten, diesen Beweis mit Binomialkoeffizienten durch Vollständige Induktion zu führen:

man beweise

k=0n(2n2k)=22n-1

man muss folgendes zeigen:

k=0n+1(2n+22k)=22n+1

ich habe versucht, durch Indexverschiebung und Identitäte der Binomialkoeffizienten von

(2n+22k)

auf (2n2k) zu kommen.

für jeden Hinweis und jede Hilfe wäre ich sehr dankbar,

LG
Ram

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:13 Uhr, 30.06.2020

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Analog dazu:
me-lrt.de/vollstandige-induktion-binomialkoeffizient
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:00 Uhr, 01.07.2020

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Muss es denn direkt Induktion bezogen auf diese Behauptung sein? Mein Vorschlag wäre, Beweis des Binomischen Satzes (a+b)m=k=0mmkam-kbk per Vollständiger Induktion über m und dann zweifache Anwendung desselben, und zwar einmal für m=2n,a=1,b=1 und dann nochmal für m=2n,a=1,b=-1 ...

Das ist wesentlich schmerzfreier.
MatheLegende

MatheLegende aktiv_icon

12:25 Uhr, 02.07.2020

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Danke für den Link.
Da wird die folgende Identität angewandt:

n+1k=nk-1+nk

Ich denke aber, dass sich diese in meinem Fall nicht wirklich anwenden lässt


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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:36 Uhr, 02.07.2020

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Doch, sie lässt sich in der Form
2n+22k=2n+12k-1+2n+12k
anwenden.
S. die Herleitung hier (ganz unten):
www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=216897&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

Dort gibt's übrigens auch andere Lösungsansätze.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:44 Uhr, 02.07.2020

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Ist mir bisher noch gar nicht aufgefallen: Wenn man diese Pascalidentität hier für die Summanden k=1,,n-1 anwendet, bekommt man durch Reindizierung von k zu j

k=0n2n2k=1+k=1n-12n2k+1=1+k=1n-1(2n-12k-1+2n-12k)+1=1+j=12n-22n-1j+1=j=02n-12n-1j,

und hat es damit auf eine andere (und bekanntere) Summe von Binomialkoeffizienten zurückgeführt.
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