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Vollständige Induktion mit Fakultät?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Beweis durch vollständig Induktion, Fakultät

Steiner aktiv_icon

16:20 Uhr, 11.01.2018

Ich soll mit vollständiger Induktion zeigen, dass (Summenzeichen)

\frac{i \cdot (i + 1)}{2} = ((n + 1)

über

2)

Ich habe Probleme mit der Fakultät:

n = 1 :

links:

\frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = 1

rechts:

(2

über

2) = 1

n = n + 1 :

((n + 1)

über

2) + \frac{(n + 1) \cdot ((n + 1) + 1)}{2} - ((n + 2)

über

2) = 0

\frac{(n + 1)!}{2! \cdot ((n + 1)! - 2!)} + \frac{n^{2} + 3 n + 2}{2} - \frac{(n + 2)!}{2! \cdot ((n + 2)! - 2)!} = 0

Das ist der Punkt, wo ich nicht weiterkomme. Ich habe absolut keinen Plan und konnte auch im Internet nichts dazu finden, wie ich jetzt mit den Fakultäten umgehe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

17:16 Uhr, 11.01.2018

Hallo,

Du hast die Binomialkoeffizienten falsch verwendet, es ist

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

Also speziell

(\begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{(n + 1)!}{2! \cdot (n - 1)!}

Jetzt kannst Du fast alle Faktoren der Fakultäten kürzen

...

.

Gruß pwm

Steiner aktiv_icon

17:23 Uhr, 11.01.2018

Danke für die Antwort. Sorry, wenn ich mich gerade etwas doof anstelle, aber wie kann ich das nun kürzen?

2! \cdot (n - 1)!

ausmultiplizieren?

Dann würde daraus folgen:

\frac{(n + 1)!}{(2 n - 1)!}

Ich bin verwirrt

pwmeyer aktiv_icon

17:34 Uhr, 11.01.2018

Nein,

\frac{(n + 1)!}{2! \cdot (n - 1)!} = \frac{(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}

Steiner aktiv_icon

17:41 Uhr, 11.01.2018

Das heißt

\frac{(n + 1)!}{2! \cdot (n - 1)} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2 \cdot (n - 1)}

Bummerang

17:48 Uhr, 11.01.2018

Hallo,

"... und konnte auch im Internet nichts dazu finden, wie ich jetzt mit den Fakultäten umgehe."

Das könnte daran liegen, dass es gar keinen speziellen Umgang bei Fakultäten braucht! Dass das simple Bruchrechnung ist! Es könnte aber auch daran liegen, dass Du Deine Binomialkoeffizienten falsch aufgeschrieben hast! Auch eine Möglichkeit ist, dass Du durch konsequentes nichtzusammenfassen von Summen, den Überblick verloren hast. Und ganz sicher liegt es daran, dass Du im Zähler vollkommen unnötig aus einem Produkt eine Summe gemacht hast, wo doch jeder Mittelstufenschüler weiss, dass man in dem Produkt einzelne Faktoren rauskürzen könnte, während das Kürzen in Summen nur die Dummen machen!

Und zu allerletzt stimmt Deine Aufgabenstellung

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{i \cdot (i + 1)}{2}) = (\begin{matrix} (n + 1) \\ 2 \end{matrix})

nicht! Nehmen wir nur mal

n = 2

\sum_{i = 1}^{2} (\frac{i \cdot (i + 1)}{2}) = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} + \frac{2 \cdot (2 + 1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{6}{2} = \frac{8}{2} = 4

(\begin{matrix} 2 + 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = 3

Tipp:

(\begin{matrix} (n + 1) \\ 2 \end{matrix}) = \frac{(n + 1)!}{2! \cdot ((n + 1) - 2)!} = \frac{(n + 1)!}{2! \cdot (n - 1)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n - 1))} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

In Deiner Aufgabenstellung entspricht der rechte Teil der Gleichung immer dem letzten Summanden der Summe! Dass das für

n = 1

funktioniert ist klar, aber für höhere

n

kann es nicht funktionieren!

Roman-22

18:26 Uhr, 11.01.2018

Entweder

\sum_{i = 1}^{n} \frac{i \cdot (i + 1)}{2} = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{6} = (\begin{matrix} n + 2 \\ 3 \end{matrix})

oder

\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} = (\begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix})

Bummerang

18:38 Uhr, 11.01.2018

Hallo,

warum Kaffeesatz lesen? Soll doch der Fragesteller einfach die richtige Aufgabenstellung geben!

Steiner aktiv_icon

18:56 Uhr, 11.01.2018

Zeigen Sie, dass mit vollständiger Induktion gilt:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{i \cdot (i + 1)}{2} = ((n + 1)

über

2)

Bummerang

19:10 Uhr, 11.01.2018

Und genau das gilt nicht schon ab

n = 2

wie oben nachgewiesen!

Steiner aktiv_icon

19:11 Uhr, 11.01.2018

Das ist nun mal die Aufgabenstellung, ich finde du hast etwas sehr emotional auf meine Unwissenheit reagiert, dennoch danke, dass du mir versucht hast zu helfen.

anonymous

08:46 Uhr, 12.01.2018

Also, um mal die heiße Luft etwas raus zu lassen...:

a)

Wenn die Aufgabe, wie du sie um

18 : 56 h

beschreiben hast, wirklich so lautet

\sum_{i = 1}^{n} \frac{i (i + 1)}{2} = (\begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix})

dann ist sie falsch.
Denn dass das nicht stimmt, das zeigen schon sehr einfache Beispiele.

b)

Wir können nur ahnen, dass vielleicht eigentlich folgendes gemeint ist:
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass gilt:

\sum_{i = 1}^{n} i = (\begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix})

Das wäre sinnvoll und richtig.

c)

Oder:
Zeigen Sie, dass gilt:

\frac{n (n + 1)}{2} = (\begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix})

Das wäre auch eine einfachste Übungsaufgabe zum Kennenlernen der Fakultät.
Dazu brauchst du auch keine vollständige Induktion.
Dazu muss man einfach den Tipp von Bummerang beherzigen.

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