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Vollständige Induktion mit Grenze (2^n)-1

Universität / Fachhochschule

Tags: Vollständig Induktion

CatDoge aktiv_icon

10:20 Uhr, 17.03.2016

(Lösung vorhanden (s.Bild))

Hi,

ich habe Probleme mit der vollständigen Induktion, wo die Grenze ungleich $n$ ist. Also bspw. $2 \cdot n + 1,$ oder wie im angehängten Bsp. $2^{n} - 1$

Den ersten Schritt kann ich mehr oder weniger nachvollziehen. Man möchte die die Induktionsvoraussetzung durch $\frac{n}{2}$ ersetzen. Warum fange ich aber bei der zweiten Summe bei $k = 2^{n}$ an ?

Auch den Schritt von der letzten Summe (s.Bild) zu dem Bruch verstehe ich nicht.

Das Problem ist auch, dass es wenige Beispiele/Aufgaben gibt, wo die Grenze ungleich $n$ ist. Auch in den meisten Youtube Videos ist die Grenze immer $n$ .

Wenn ihr mir helfen könntet, wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DerDepp aktiv_icon

10:49 Uhr, 17.03.2016

Hossa :-)

Um die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können, zerlegst du die Summe mit $2^{n + 1} - 1$ Summanden in zwei Teilsummen. Die erste Teilsumme geht von $k = 1$ bis $k = 2^{n} - 1$ . Die zweite Teilsumme schließt sich daran an und geht von $k = 2^{n}$ bus $k = 2^{n + 1} - 1$ :

$\sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{2^{n} - 1} \frac{1}{k} + \sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k}$

Deswegen startet die zweite Summe bei $k = 2^{n}$ . Nach Induktionsvoraussetzung ist die erste Teilsumme nun $\geq n / 2$ , also:

$\sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} + \sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k}$ .

Für die verbliebene Teilsumme lauten die Summanden: $\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n} + 1} + \frac{1}{2^{n} + 2} + \dots + \frac{1}{2^{n + 1} - 1}$ . Jeder dieser Summanden ist größer als $\frac{1}{2^{n + 1}}$ , denn es gilt: $2^{n} < 2^{n + 1}, 2^{n} + 1 < 2^{n + 1}, \dots, 2^{n + 1} - 1 < 2^{n + 1}$ . Daher gilt:

$\sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k} > \sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{2^{n + 1}} = \underset{(2^{n + 1} - 1) - (2^{n}) + 1 Summanden}{\underset{⎵}{\frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{2^{n + 1}} + \dots + \frac{1}{2^{n + 1}}}} = 2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n + 1}}$

Die Summe ausgeschrieben ergibt $(2^{n + 1} - 1) - (2^{n}) + 1$ Summanden. [Obere Grenze minus untere Grenze plus 1.] Das sind dann $2^{n + 1} - 2^{n} = 2 \cdot 2^{n} - 2^{n} = 2^{n}$ Summanden insgesamt. Schließlich kann folgt daraus:

$\sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k} > \frac{n}{2} + 2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{n + 1}{2}$ .

Im Induktionsschritt gilt sogar echtes Größer, nicht nur Größer-Gleich ;-)

CatDoge aktiv_icon

14:16 Uhr, 17.03.2016

Hab das leider an sich nicht wirklich verstanden, aber ich werde jm. fragen, ob er mir das so erklären kann, wie du es beschrieben hast.

Vielen Dank!

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