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Folgende Aufgabe macht mich bald verrückt...
Es sei n ∈ N. Wir definieren n-Fakultät n! von n rekursiv als
0!= 1 und n!= n*(n-1)! für n größergleich 1.
Beweisen Sie nun mit vollständiger Induktion, dass für n ∈ N, n größergleich 1, die Ungleichung
n! ≤ n^n bzw. n! ≤ n hoch n
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JaBaa
18:15 Uhr, 19.01.2022
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Hi,
ich denke du meinst . Also hast du den schon den Induktionsanfang gemacht ?
Viele Grüße
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Nein leider nicht...
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JaBaa
18:26 Uhr, 19.01.2022
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Welches Problem gibt es denn die Ungleichung für zu beweisen ? Setze ein und überprüfe ob die Ungleichung gilt. Ich bin kurz weg kann dir aber in einer Stunde beim Induktionsschritt helfen ;-). Bis dahin schaue dir nochmal genau an wie Induktion funktioniert, weil wenn du die mal verstanden hast wirst du nur noch über diese Aufgabe lächeln können :-) .
Viele Grüße
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JaBaa
19:15 Uhr, 19.01.2022
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Hi,
hast du den Induktionsanfang geschafft ?
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Hey ja der Induktionsanfang wäre:
A(1)= 1!= 1*(1-1)! 1 = 0! 1= 1
Das ist dann wahr.
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Sorry nein! Das wäre
A(1)= 1! kleiner gleich 1^1 Daraus folgt dann 1=1.
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JaBaa
20:20 Uhr, 19.01.2022
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Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass ist für . Und du bekommst heraus also passt es doch, denn . Ich fange bei an.
Für den Induktionsschritt musst du annehmen, dass ist und mit dieser Annahme zeigen:
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Und wie zeige ich das? ALso die Umformungsschritte leuchten mir nicht ein.
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JaBaa
20:24 Uhr, 19.01.2022
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Welche Umformungsschritte meinst du ? Ich habe gar keine Umformungsschritte vorgenommen. Ich habe dir nur die Aufgabe nochmal explizit hingeschrieben. Also was zu tun ist.
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Wenn ich die Induktionsannahme einsetze, komme ich auf zwei Ungleichungen, die ich nicht lösen kann...
n^n ≥ (n+1)! ≤ (n+1)^n+1
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Wie setze ich die Induktionsannahme ein und forme den Term so um, dass ich die Behauptung belegen kann?
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JaBaa
20:28 Uhr, 19.01.2022
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Leichte Induktionsaufgaben verlaufen oft nach Schema f. Also erster Schritt zeige den Induktionsanfang. Also für oder . Danach nehme an die Induktionsvoraussetzung gilt: In diesem Fall gilt
Der Beweis geschieh im Induktionsschritt: in diesem Fall
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Also brauche ich keine Implikation diesmal zu zeigen, da es eine Ungleichung ist?
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JaBaa
20:30 Uhr, 19.01.2022
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Wir fangen auf der linken Seite an:
nun bis du dran. Überlege dir wie du umschreiben kannst sodass zum vorschein kommt. Dann nutz die Induktionsvoraussetzung.
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JaBaa
20:33 Uhr, 19.01.2022
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Du musst nur zeigen. Ich weiß nicht sonst was du meinst.
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Ich habe folgendes:
(n+1)!= (n+1)*((n+1)-1)) ≤ (n+1)^(n+1) ??
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≤ soll kleiner gleich heißen
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JaBaa
20:37 Uhr, 19.01.2022
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Vielleicht schaust du mal wie man Formeln schreibt, aber ist jetzt auch nicht so wichtig.
Du schreibst denke ich:
danach wendest du die Induktionsvoraussetzung an, aber ich sehe hier gar kein
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Sorry das habe ich vergessen! Wie würde es dann weitergehen?
(n+1)! = (n+1) * n
hätte ich, wenn ich den Term auflöse.
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JaBaa
20:43 Uhr, 19.01.2022
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Du schreibst
Setzen wir aus Spaß mal für ein, dann steht da:
Also passt wohl irgendetwas noch nicht.
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Es fehlt das Fakultätszeichen !.
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JaBaa
20:45 Uhr, 19.01.2022
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Dann schreib es hin und wende selbständig die Induktionsvoraussetzung an ;-).
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Also müsste ich dann folgendes tun:
(n+1)!= n^n + (n+1)*n!
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JaBaa
21:07 Uhr, 19.01.2022
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Ich verstehe nicht was du da schreibst. Also wie du darauf kommst. Diese Gleichung muss doch für alle gelten. Wenn ich setze ist es schon nicht richtig
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JaBaa
21:09 Uhr, 19.01.2022
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Also probiere logisch von auf einen Ausdruck mit einem zu kommen.
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JaBaa
21:12 Uhr, 19.01.2022
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Du kannst erstmal schreiben. Vielleicht hast du es ja so gemacht ? Dann hast du aber aus irgendeinem Grund, den ich nicht verstehe addiert.
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> Dann hast du aber aus irgendeinem Grund, den ich nicht verstehe addiert.
Ich hatte gedacht, die Threadüberschrift "Vollständige Induktion mit Summen" wäre nur ein oberflächlicher Verschreiber, aber vielleicht steckt ja doch ein tieferer Irrtum dahinter... "Vollständige Induktion mit Produkten" wäre jedenfalls passender.
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