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Vollständige Induktion mit Summen

Universität / Fachhochschule

Tags: Fakultät, Vollständig Induktion

 
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BukixD

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18:03 Uhr, 19.01.2022

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Folgende Aufgabe macht mich bald verrückt...

Es sei n ∈ N. Wir definieren n-Fakultät n! von n rekursiv als

0!= 1 und n!= n*(n-1)! für n größergleich 1.

Beweisen Sie nun mit vollständiger Induktion, dass für n ∈ N, n größergleich 1, die Ungleichung

n! ≤ n^n bzw. n! ≤ n hoch n
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JaBaa

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18:15 Uhr, 19.01.2022

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Hi,

ich denke du meinst n!nn . Also hast du den schon den Induktionsanfang gemacht ?

Viele Grüße
BukixD

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18:19 Uhr, 19.01.2022

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Nein leider nicht...
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JaBaa

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18:26 Uhr, 19.01.2022

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Welches Problem gibt es denn die Ungleichung für n=1 zu beweisen ? Setze n=1 ein und überprüfe ob die Ungleichung gilt. Ich bin kurz weg kann dir aber in einer Stunde beim Induktionsschritt helfen ;-). Bis dahin schaue dir nochmal genau an wie Induktion funktioniert, weil wenn du die mal verstanden hast wirst du nur noch über diese Aufgabe lächeln können :-) .

Viele Grüße
Antwort
JaBaa

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19:15 Uhr, 19.01.2022

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Hi,

hast du den Induktionsanfang geschafft ?
BukixD

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19:20 Uhr, 19.01.2022

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Hey ja der Induktionsanfang wäre:

A(1)= 1!= 1*(1-1)!
1 = 0!
1= 1

Das ist dann wahr.
BukixD

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19:26 Uhr, 19.01.2022

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Sorry nein! Das wäre

A(1)= 1! kleiner gleich 1^1
Daraus folgt dann 1=1.
Antwort
JaBaa

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20:20 Uhr, 19.01.2022

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Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass n!nn ist für n=1. Und du bekommst 1=1 heraus also passt es doch, denn 11. Ich fange bei 1 an.

Für den Induktionsschritt musst du annehmen, dass n!nn ist und mit dieser Annahme zeigen:

(n+1)!(n+1)n+1
BukixD

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20:23 Uhr, 19.01.2022

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Und wie zeige ich das?
ALso die Umformungsschritte leuchten mir nicht ein.
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JaBaa

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20:24 Uhr, 19.01.2022

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Welche Umformungsschritte meinst du ? Ich habe gar keine Umformungsschritte vorgenommen. Ich habe dir nur die Aufgabe nochmal explizit hingeschrieben. Also was zu tun ist.
BukixD

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20:26 Uhr, 19.01.2022

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Wenn ich die Induktionsannahme einsetze, komme ich auf zwei Ungleichungen, die ich nicht lösen kann...

n^n ≥ (n+1)! ≤ (n+1)^n+1
BukixD

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20:28 Uhr, 19.01.2022

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Wie setze ich die Induktionsannahme ein und forme den Term so um, dass ich die Behauptung belegen kann?
Antwort
JaBaa

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20:28 Uhr, 19.01.2022

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Leichte Induktionsaufgaben verlaufen oft nach Schema f. Also erster Schritt zeige den Induktionsanfang. Also für n=0 oder n=1. Danach nehme an die Induktionsvoraussetzung gilt: In diesem Fall gilt n!nn

Der Beweis geschieh im Induktionsschritt: in diesem Fall (n+1)!(n+1)n+1
BukixD

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20:30 Uhr, 19.01.2022

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Also brauche ich keine Implikation diesmal zu zeigen, da es eine Ungleichung ist?
Antwort
JaBaa

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20:30 Uhr, 19.01.2022

Antworten
Wir fangen auf der linken Seite an:

(n+1)!=.....

nun bis du dran. Überlege dir wie du (n+1)! umschreiben kannst sodass n! zum vorschein kommt. Dann nutz die Induktionsvoraussetzung.
Antwort
JaBaa

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20:33 Uhr, 19.01.2022

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Du musst nur zeigen. Ich weiß nicht sonst was du meinst.
BukixD

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20:33 Uhr, 19.01.2022

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Ich habe folgendes:

(n+1)!= (n+1)*((n+1)-1)) ≤ (n+1)^(n+1) ??
BukixD

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20:34 Uhr, 19.01.2022

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≤ soll kleiner gleich heißen
Antwort
JaBaa

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20:37 Uhr, 19.01.2022

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Vielleicht schaust du mal wie man Formeln schreibt, aber ist jetzt auch nicht so wichtig.

Du schreibst denke ich:

(n+1)!=(n+1)((n+1)-1)

danach wendest du die Induktionsvoraussetzung an, aber ich sehe hier gar kein n!

BukixD

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20:39 Uhr, 19.01.2022

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Sorry das habe ich vergessen! Wie würde es dann weitergehen?

(n+1)! = (n+1) * n

hätte ich, wenn ich den Term auflöse.
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JaBaa

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20:43 Uhr, 19.01.2022

Antworten
Du schreibst (n+1)!=(n+1)n.

Setzen wir aus Spaß mal 3 für n ein, dann steht da:

4!=43

4!=1234=2412=43

Also passt wohl irgendetwas noch nicht.
BukixD

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20:43 Uhr, 19.01.2022

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Es fehlt das Fakultätszeichen !.
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JaBaa

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20:45 Uhr, 19.01.2022

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Dann schreib es hin und wende selbständig die Induktionsvoraussetzung an ;-).
BukixD

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20:50 Uhr, 19.01.2022

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Also müsste ich dann folgendes tun:


(n+1)!= n^n + (n+1)*n!


Antwort
JaBaa

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21:07 Uhr, 19.01.2022

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Ich verstehe nicht was du da schreibst. Also wie du darauf kommst. Diese Gleichung muss doch für alle n gelten. Wenn ich n=1 setze ist es schon nicht richtig
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JaBaa

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21:09 Uhr, 19.01.2022

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Also probiere logisch von (n+1)! auf einen Ausdruck mit einem n! zu kommen.
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JaBaa

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21:12 Uhr, 19.01.2022

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Du kannst erstmal (n+1)!=(n+1)n! schreiben. Vielleicht hast du es ja so gemacht ? Dann hast du aber aus irgendeinem Grund, den ich nicht verstehe nn addiert.
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HAL9000

HAL9000

13:37 Uhr, 20.01.2022

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> Dann hast du aber aus irgendeinem Grund, den ich nicht verstehe nn addiert.

Ich hatte gedacht, die Threadüberschrift "Vollständige Induktion mit Summen" wäre nur ein oberflächlicher Verschreiber, aber vielleicht steckt ja doch ein tieferer Irrtum dahinter... "Vollständige Induktion mit Produkten" wäre jedenfalls passender.
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