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Vollständige Induktion- n im Exponenten

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Tags: Teilbarkeit, Vollständig Induktion

 
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Yara002

Yara002 aktiv_icon

17:19 Uhr, 20.10.2018

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Hallo zusammen. Ich hoffe ihr könnt mir hier vielleicht ein wenig weiterhelfen.
Ich habe mir heute Mittag nochmal Beweise per Induktionen angeschaut und nun sitze ich an einer Aufgabe und komme da leider nicht weiter.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Zahl 22n-1 für jedes n∈N durch 3 teilbar ist.

Zu dem IA habe ich n=1 also: 22⋅1-1=3 daraus folgt dann dass 3 durch 3 teilbar ist.
IV: 22n-1 ist beliebig aber fest für n∈N

Jedoch habe ich jetzt bei der Behauptung ein paar Probleme und zwar sage ich jetzt, dass das auch für n=n+1 gilt: dann hätte ich:
22n+1-1

⇒2⋅22n-1
Jetzt ist es aber so, dass mich noch die 2 stört, die könnte ich ja zerlegen,oder?Dann hätte ich halt (1+1)⋅22n-1 ausmultiplizieren bringt mich auf 22n+22n-1 Da stört mich jetzt halt die 22n, aber ich denke, ich habe schon irgendwo vorher einen Fehler gemacht. Nur leider weiß ich nicht wo.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

ermanus aktiv_icon

17:49 Uhr, 20.10.2018

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Hallo,
beim Übergang n→n+1 geht 22n-1 über in 22(n+1)-1,
nicht in 22n+1-1. Vielleicht hast du so mehr Erfolg ;-)
Gruß ermanus
Yara002

Yara002 aktiv_icon

18:44 Uhr, 20.10.2018

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Oh, Dankeschön!
Okay, dann hätte ich also:
22(n+1)-1
=4⋅22n-1
=22n⋅(3+1)-1
Dann könnte ich ja, da es durch drei teilbar sein soll, es auch so schreiben:
22n⋅33+22n-13
Dann hätte ich nur noch 22n+22n-13
Denn zweiten Summanden habe ich ja schon als IV vorausgesetzt. Und durchs rumprobieren bzw. einsetzen von n, hat bei mir jetzt ergeben, dass das gilt, wenn n gerade ist. Stimmt das so?

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ermanus

ermanus aktiv_icon

18:53 Uhr, 20.10.2018

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Vielleicht meinst du das Richtige, es ist aber eher schlecht nachzuvollziehen.
Du hast ja nun
4⋅22n-1=(3+1)22n-1=3⋅22n+22n-1.
Nach Induktionsvoraussetzung ist 22n-1=3⋅z mit einer ganzen Zahl z,
folglich
4⋅22n-1=3⋅(22n+z). Das ist offenbar durch 3 teilbar.
So versteht man es eher.
Gruß ermanus
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michaL

michaL aktiv_icon

19:00 Uhr, 20.10.2018

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Hallo,

muss es Induktion sein?

Immerhin gilt: 22n-1=(2n)2-12=(2n-1)(2n+1).
Nun betrachten wir die drei aufeinander folgenden Zahlen: 2n-1, 2n, 2n+1
Eine davon muss durch drei teilbar sein weil es drei aufeinander folgende Zahlen sind.
Rate, welche es NICHT sein kann!

Mfg Michael
Frage beantwortet
Yara002

Yara002 aktiv_icon

16:32 Uhr, 21.10.2018

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Ja, dein Schritt ist deutlich besser nachzuvollziehen als meiner. Ich denke, ich muss da wohl noch einiges üben.
Vielen Dank für deine Hilfe. :-)