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Vollständige Induktion (ohne Summenzeichen)

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion, ohne Summenzeichen

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MaCXyLo

MaCXyLo aktiv_icon

20:36 Uhr, 19.05.2015

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Hallo,
habe eine vollständige Induktion vor mir, bei der ich leider nicht weiter weiss...

Beweisen sie durch vollständige Induktion, dass

\frac{(n^{5}) - n}{5}

für jedes n∈ℕ eine Zahl aus ℕ0 ist.

ℕ0 ist ja gleich

{0,1,2,3,4,5 ...}

Wenn ich nun

0,1,2

in meine Induktionsannahme einsetze, funktioniert das schon mal nicht.
An der Stelle frage ich mich schon, ob das überhaupt klappen kann.

Bei

3,4

fängt es an, zu funktionieren.

Nun weiss ich aber leider nicht so Recht weiter - das Summenzeichen fehlt...
Kann ich mir das jetzt einfach dazuschreiben?

Wie gehe ich dann weiter vor? Ich setze

(n + 1)

für

n

ein und dann?

Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

abakus

20:47 Uhr, 19.05.2015

Antworten

Hallo

0^{5} - 0

,

1^{5} - 1

und

2^{5} - 2

ergeben 0, 0 bzw. 30.
Diese Zahlen SIND durch 5 teilbar!!!

MaCXyLo

MaCXyLo aktiv_icon

20:53 Uhr, 19.05.2015

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Hallo Gast62,
vielen dank für deine Antwort.
Du hast natürlich Recht.

n = 2,3,4

funktioniert.

n = 0,1

funktioniert aber nicht.
Division durch 5 ergibt bei

1^{5} - 1

oder

0^{5} - 0

doch keinen Sinn?

Antwort

peepee

peepee aktiv_icon

07:38 Uhr, 20.05.2015

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doch, das ist erlaubt.

Die Aussage kann umformuliert werden:

"

\frac{n^{5} - n}{5}

liefert immer eine Zahl aus

ℕ_{0}

":

n^{5} - n = 5 k

für

k \in ℕ_{0}

Das ist die Voraussetzung, gezeigt hat man es ja nun für eins. Jetzt muss man zeigen, dass es für den nächsten UNTER DER VORAUSSETZUNG auch gilt.

\begin{array}{rcl} {(n + 1)}^{5} - (n + 1) \\ = & n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1 - n - 1 \\ = & n^{5} - n + 5 (n^{4} + 2 n^{3} + 2 n^{2} + n) \\ = & 5 k + 5 (n^{4} + 2 n^{3} + 2 n^{2} + n) \end{array}

Im letzten Schritt wurde die Voraussetzung genutzt. Wenn

n

immer nur aus

ℕ

stammt, stammt der Klammerausdruck auch daraus. Also ist der Ausdruck

5 (k + n^{4} + 2 n^{3} + 2 n^{2} + n)

immer eine durch

5

teilbare Zahl

Frage beantwortet

MaCXyLo

MaCXyLo aktiv_icon

11:31 Uhr, 20.05.2015

Antworten

Vielen Dank für die super Antwort!

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