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Vollständige Induktion von k^3

Universität / Fachhochschule

16:34 Uhr, 27.10.2017

kann mir bitte jemand erklären wie ich beweisen soll das

n \in N, n \geq 1

n

\sum k^{3} = \frac{1}{4} n^{2} {(n + 1)}^{2}

k = 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

16:39 Uhr, 27.10.2017

Na per Induktion.
Induktionsanfang ist leicht zu checken.
Induktionsschritt:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k^{3} = \sum_{k = 1}^{n} k^{3} + (n + 1)^{3} = 0.25 n^{2} (n + 1)^{2} + (n + 1)^{3} = (n + 1)^{2} (\frac{n^{2}}{4} + n + 1) = (n + 1)^{2} \frac{n^{2} + 4 n + 4}{4} =

= (n + 1)^{2} \frac{(n + 2)^{2}}{4}

16:44 Uhr, 27.10.2017

ich habe aber noch nicht ganz verstanden wie die vollständige Induktion funktioniert könnten sie mir deshalb evtl den weg etwas genau aufzeigen ?

16:52 Uhr, 27.10.2017

Es geht darum eine Aussage zu beweisen, die so geht: für alle

n

gilt

L (n)

L (n)

ist halt irgendeine Aussage, die von

n

abhängt. Z.B.

L (n) :

\sum_{k = 1}^{n} 2 k = n^{2} + n

.

Solche Aussagen werden mittels Induktion bewiesen, indem man
1. Induktionsanfang nachweist, also zeigt, dass

L (n_{0})

für einen Anfangswert

n_{0}

wahr ist, meistens ist

n_{0} = 0

oder

1

. (In diesem Fall wäre

n_{0} = 1

und die Aussage

L (1)

einfach auf Wahrheit zu prüfen:

\sum_{k = 1}^{1} 1^{3} = \frac{1^{2} (1 + 1)^{2}}{4}

.)
2. Induktionsschritt. Man setzt voraus, dass

L (n)

stimmt und folgt daraus

L (n + 1)

.

Wenn man 1 und 2 gezeigt hat, ist der Beweis vollbracht.

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