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Vollständige Induktion/Differentialrechnung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Vollständig Induktion

charly14 aktiv_icon

13:28 Uhr, 07.05.2019

Hallo,

ich sitze schon seit einer Weile an einer Aufgabe und komme einfach auf nichts, was mich weiterbringt.

Wir sollen mit Hilfe von vollständiger Induktion zeigen, dass

f (x) \frac{d^{n} g (x)}{d x^{n}} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \frac{d^{n - k}}{d x^{n - k}} (f^{(k)} (x) g (x))

Den Induktionsanfang mit

n = 1

habe ich noch hinbekommen, aber beim Induktionsschritt bin ich jetzt kläglich gescheitert.

Ich könnte mir vorstellen, dass die Leibnitz'sche Formel was bringt, weiß jedoch nicht wie ich das verbinden könnte.

Danke für jede Hilfe schonmal. (bearbeitet)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:40 Uhr, 07.05.2019

Hallo
verbessere deine Formel, so wie sie dasteht ist sie falsch.
Gruß ledum

HAL9000

13:45 Uhr, 07.05.2019

@charly14

Mit Induktionsvoraussetzung bekommt man

f (x) \frac{d^{n + 1} g (x)}{d x^{n + 1}} = f (x) \frac{d^{n} g ʹ (x)}{d x^{n}} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) \frac{d^{n - k}}{d x^{n - k}} (f^{(k)} (x) g ʹ (x)) (*)

Nun ist

(f^{(k)} (x) g (x)) ʹ = f^{(k + 1)} (x) g (x) + f^{(k)} (x) g ʹ (x)

, d.h., man kann (*) weiter umformen

= \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) [\frac{d^{n - k + 1}}{d x^{n - k + 1}} (f^{(k)} (x) g (x)) - \frac{d^{n - k}}{d x^{n - k}} (f^{(k + 1)} (x) g (x))]

Jetzt noch ein bisschen Indexverschiebung in der zweiten Teilsumme, die Pascaldreieck-Identität für Binomialkoeffizienten nutzen, und man ist fertig.

@ledum

Hab ich auch erst gedacht, aber die Gleichung scheint doch zu stimmen. :-)

charly14 aktiv_icon

15:02 Uhr, 07.05.2019

Hallo HAL9000,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Der Ansatz hat mich schon um einiges weiter gebracht. Jedoch hänge ich jetzt bei der Indexverschiebung. Ich habe jetzt schon einiges probiert, aber irgendwie will nichts so richtig klappen.

Mein letzter Stand war:

\sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \frac{d^{n - k + 1}}{d x^{n - k + 1}} (f^{(k)} g (x)) + \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k + 1} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \frac{d^{n - k}}{d x^{n - k}} (f^{(k + 1)} g (x))

Wie muss ich nun die Idices verschieben, dass ich auf die gewünschte Form komme? Stehe total auf dem Schlauch

HAL9000

17:52 Uhr, 07.05.2019

Indexsubstitution

k = j - 1

, damit wird aus

k = 0, \dots, n

aber Summation

j = 1, \dots, n + 1

. Es ist somit

\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k + 1} (\binom{n}{k}) \frac{d^{n - k}}{d x^{n - k}} (f^{(k + 1)} (x) g (x)) = \sum_{j = 1}^{n + 1} (- 1)^{j} (\binom{n}{j - 1}) \frac{d^{n - j + 1}}{d x^{n - j + 1}} (f^{(j)} (x) g (x))

.

Beide Summen zusammengeworfen (aus j machen wir wieder k), die "Randindizes"

k = 0

sowie

k = n + 1

aber extrahiert, das ergibt

\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) \frac{d^{n - k + 1}}{d x^{n - k + 1}} (f^{(k)} (x) g (x)) + \sum_{k = 1}^{n + 1} (- 1)^{k} (\binom{n}{k - 1}) \frac{d^{n - k + 1}}{d x^{n - k + 1}} (f^{(k)} (x) g (x))

= \frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}} (f (x) g (x)) + (- 1)^{n + 1} (f^{(n + 1)} (x) g (x)) + \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} ((\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1})) \frac{d^{n - k + 1}}{d x^{n - k + 1}} (f^{(k)} (x) g (x))

.

Jetzt Pascal, und dann wieder die extrahierten Glieder "reassimilieren" in die Summe. :-)

P.S.: Einmal mehr treibt mich dieses besch...ene Webinterface hier in den Wahnsinn: Bereitet man so lange Formeln wie hier in einem externen Editor vor und kopiert sie dann hier in die Eingabemaske, dann tickt die völlig aus und stellt die LaTeX-Formeln als Text da. Anscheinend wird immer erwartet, dass man alles immer und immer wieder hier eintippt, denn Copy+Paste verträgt die Engine ganz, ganz schlecht...

charly14 aktiv_icon

09:42 Uhr, 09.05.2019

Hallo HAL9000,

Vielen Dank für deine Antwort. Habe die Aufgabe nun verstanden und konnte sie bearbeiten!

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