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Vollständigkeit
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen
 
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Wir haben die folgende Definition in unser Skript bzgl. Vollständigkeit: Ein normierter -Vektorraum(,)heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert. Hier ist genau meine Frage: Wir hatten schon vorher einen Satz, dass jede Cauchy-Folge konviergiert. Oder ist hier gemeint, dass der Grenzwert auch in sein muss? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Wir hatten schon vorher einen Satz, dass jede Cauchy-Folge konviergiert." Diesen Satz konntet Ihr nicht haben. Ihr hattet vermutlich den Satz: in ist jede Cauchy-Folge konvergent. Damit wird gezeigt, dass ein vollständiger Raum ist. Es gibt aber durchaus Räume, wo Cauchy-Folgen nicht unbedingt konvergieren. Unvollständige halt. Zwar kann man jeden unvollständigen Raum immer vervollständigen, aber die Konstruktion ist im allgemeinen Fall ziemlich kompliziert. |
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Ich denke, jetzt wird mir die Sache klarer. Wenn wir zum Beispiel einen normierten -Vektorraum haben, konvergiert nicht jede Cauchy-Folge und somit ist dieser normierter Vektorraum nicht vollständig. Ist das richtig? |
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Ja, das stimmt, aber ist kein so gutes Beispiel, denn die Vervollständigung ist in diesem Fall offensichtlich: . Daher kann man in diesem Fall sagen: jede Cauchy-Folge aus hat einen Grenzwert, der liegt halt allgemein in und nicht in , wie Du sagtest. Im allgemeinen Fall kann es sein, dass man keinen Grenzwert einer Cauchy-Folge "sieht", weil man die Vervollständigung nicht so schnell erkennt. Ein gutes Beispiel dafür sind -adische Zahlen. So ist z.B. die Folge eine Cauchy-Folge in der -adischen Metrik, aber was der Grenzwert davon ist, liegt nicht auf der Hand. |
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Danke |
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