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Vollständigkeit und Cauchy-Folgen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Cauchy Folge, Folgen, Reihen, vollständigkeit
 
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Hallo, habe eine kurze Frage zu einer Definition in meinem Skript und zwar steht da: "Ein Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert." Mir ist klar, wie ich diesen Satz verwenden kann, um beispielsweise zu zeigen, dass der metrische Raum nicht vollständig sind (einfaches Gegenbeispiel einer Folge, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert). Wie zeige ich aber beispielsweise, dass der metrische Raum ein vollständiger Raum ist (ist er doch, oder?). Ich kann ja schlecht zeigen, dass alle Cauchy-Folgen konvergieren (da dürfte es ja unendlich viele geben). Wäre super wenn jemand sich die Mühe macht, mir das zu erklären. Liebe Grüße, philips Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, das ist halt die Kunst der Mathematik, denn leider ist das genau das, was du machen musst :-) Jedesmal, wenn du irgendetwas zeigen musst, das "für alle" gilt, hast du dieses Problem. Aber die Mathematiker machen machen einen Trick: Man nimmt eine allgemeine Folge, also eine Folge mit , und zeigt, dass diese in konvergiert. Dabei ist es wichtig, dass man für die keine weiteren Annahmen macht (also z.B. es gelte ), denn dann gilt alles, was man anschließend zeigt, auch nur für die Folgen, die diese Annahme erfüllen (und das wären dann halt nicht alle möglichen Folgen). Kleines (anderes) Beispiel Behauptung: Für alle gibt es ein , so dass gilt. Der Mathematiker-Trick: Sei fest, aber beliebig. Offensichtlich ist der Ziel des Erfolges, dass man nun "berechnet". Wir formen die Gleichung also um: und voilá, ich hab mein gefunden. Ist das richtig? Nein! Denn ich habe durch geteilt. Bekanntlich darf man aber nicht durch Null teilen, und da ist, und beliebig gewählt war, kann auch gelten. nimmt halt nicht nur "schöne" Werte wie oder an, sondern halt auch mal (man kann sich das in der Tat so vorstellen, dass dieselbe Rechnung unendlich oft durchgegangen wird und bei jedem Durchgang einen anderen Wert annimmt). Das muss ich aber ausschließen, wenn ich durch teilen will. Ich kann den Beweis also nur für führen und in der Tat ist die Behauptung für falsch. Lieben Gruß Sina |
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Vielen Dank. Blicke jetzt besser durch :-) |
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