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Volumen Ellipsoid

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Integration

Tags: Integration, Koordinatentransformation, Kugelkoordinaten

Emilia200498 aktiv_icon

21:52 Uhr, 04.06.2018

Guten Abend,

ich habe folgendes Problem:

ich soll zeigen, dass für einen Ellipsoid

E := {(x, y, z) \in ℝ^{3} | (\frac{x^{2}}{a^{2}}) + (\frac{y^{2}}{b^{2}}) + (\frac{z^{2}}{c^{2}}) \leq 1}

gilt, das Volumen(E)=

\frac{4 \cdot π \cdot a \cdot b \cdot c}{3}

gilt.
Nutzen soll man die Transformation der Kugelkoordinaten:

ω : [0, \infty [\times [- π, π] \times [- (\frac{π}{2}), \frac{π}{2}] \to ℝ^{3}

(r, φ, θ) \to (a \cdot r \cdot cos (θ) \cdot cos (φ), b \cdot r \cdot cos (θ) \cdot sin (φ), c \cdot r \cdot sin (θ))

Ich weiß nicht wirklich, welche Integralgrenzen ich hier wählen soll. Ich habe zuerst

det (ω')

berechnet und dann hintereinander dieses Ergebnis integriert. Komme aber aufs falsche Ergebnis.

Ich hoffe mir kann noch jemand helfen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

DerDepp aktiv_icon

10:47 Uhr, 05.06.2018

Hossa ;-)

Der Tipp ist es, in Kugelkoordinaten zu rechnen:

\vec{r} = (\begin{array}{c} a r \cos φ \sin θ \\ b r \sin φ \sin θ \\ c r \cos θ \end{array}); r \in [0; 1]; φ \in [0; 2 π [; θ \in [0; π]

Die Grenzen sind so gewählt, dass der Vektor

\vec{r}

den gesamten Ellipsoid abtastet. Als Funktionaldeterminante habe ich raus:

d x d y d z = a b c r^{2} \sin θ d r d φ d θ

Damit lautet das gesuchte Volumen:

V = \int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} d Θ a b c r^{2} \sin θ = 2 π a b c \int_{0}^{1} r^{2} d r \int_{0}^{π} \sin θ d Θ = 2 π a b c {[\frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{1} \cdot {[- \cos θ]}_{0}^{π} = 2 π a b c \cdot \frac{1}{3} \cdot 2

V = \frac{4}{3} π a b c

Emilia200498 aktiv_icon

12:41 Uhr, 05.06.2018

Vielen Dank für die Antwort erstmal, ich habe noch kurz ein paar Rückfragen: wie genau komme ich auf die Integralgrenzen,da mich dieses

[0, \infty [

zb etwas verwirrt hat.
Und dann wenn ich die Koordinaten ersetzt habe,muss ich doch die Jacobi Matrix bilden und dann die determinante integrieren, richtig?

Danke und LG

DerDepp aktiv_icon

14:55 Uhr, 05.06.2018

Schau dir mal bitte auf Wikipedia die Kugelkoordinaten an:

de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#/media/File:Kugelkoord-def.svg

Ein Ortsvektor

\vec{r}

vom Zentrum zur Kugeloberfläche hat dabei die Form:

\vec{r} = (\begin{array}{c} R \cos φ \sin θ \\ R \sin φ \sin θ \\ R \cos θ \end{array})

Um mit dieser Beschreibung die ganze Kugeloberfläche abzutasten, muss der Winkel

φ

einen kompletten Kreis beschreiben, also

φ \in [0; 2 π [

und der Winkel

θ

muss einen Halbkreis beschreiben, also

θ \in [0; π]

. Wenn du jetzt nicht nur den Rand der Kugel abtasten möchtest, sondern das gesamte innere Volumen, darf

R

nicht fest sein, sondern muss durch einen Parameter

r \in [0; R]

ersetzt werden. Für das Innere einer Kugel hast du also folgende "Abtastung":

\vec{r} = (\begin{array}{c} r \cos φ \sin θ \\ r \sin φ \sin θ \\ r \cos θ \end{array}); r \in [0; R]; φ \in [0; 2 π [; θ \in [0; π]

Bei einem Ellipsoid bleiben die Interpretationen von

θ

und

φ

gleich. Allerdings gibt es keinen festen Radius

R

mehr, sondern jede Halbachse hat eine andere Länge, nämlich

a, b, c

. Das kannst du mathematisch greifen, indem du den Parameter

r

von

0

bis

1

gehen lässt und für die Halbachsen

a \cdot r, b \cdot r

und

c \cdot r

einträgst:

\vec{r} = (\begin{array}{c} a r \cos φ \sin θ \\ b r \sin φ \sin θ \\ c r \cos θ \end{array}); r \in [0; 1]; φ \in [0; 2 π [; θ \in [0; π]

Dieser

\vec{r}

tastet das gesamte Volumen des Ellisposids ab. Mit Hilfe dieser Darstellung von

\vec{r}

kannst du die Determinante der Jacobi-Matrix bestimmen:

∣ J ∣ = ∣ \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, θ, φ)} ∣ = ∣ \begin{array}{c} a \cos φ \sin θ & a r \cos φ \cos θ & - a r \sin φ \sin θ \\ b \sin φ \sin θ & b r \sin φ \cos θ & b r \cos φ \sin θ \\ c \cos θ & - c r \sin θ & 0 \end{array} ∣ = a b c ∣ \begin{array}{c} \cos φ \sin θ & r \cos φ \cos θ & - r \sin φ \sin θ \\ \sin φ \sin θ & r \sin φ \cos θ & r \cos φ \sin θ \\ \cos θ & - r \sin θ & 0 \end{array} ∣

Die letzte Determinante ist die Funktionaldeterminante von Kugelkoordinaten, die kannst du ausrechnen oder besser wissen:

r^{2} \sin θ

. Damit lautet die Determinante der Jacobi-Matrix hier:

∣ J ∣ = a b c r^{2} \sin θ

Über diese Determinante musst du nun noch in den o.g. Grenzen integrieren und bist fertig. Das ist die Rechnung von meinem vorigen Posting.

Emilia200498 aktiv_icon

20:45 Uhr, 05.06.2018

Danke erstmal für die ausführliche Erklärung,
jedoch ist bei mir die Koordinatendarstellung ja ein bisschen anders und die Jacobi Matrix dann auch (ich differenziere erst

φ

dann

θ)

und komme auch nach zweimaligem Versuch nicht auf das Ergebnis...
müsste es nicht genau so funktionieren?

Danke und lg

Emilia200498 aktiv_icon

20:45 Uhr, 05.06.2018

Danke erstmal für die ausführliche Erklärung,
jedoch ist bei mir die Koordinatendarstellung ja ein bisschen anders und die Jacobi Matrix dann auch (ich differenziere erst

φ

dann

θ)

und komme auch nach zweimaligem Versuch nicht auf das Ergebnis...
müsste es nicht genau so funktionieren?

Danke und lg

Emilia200498 aktiv_icon

21:16 Uhr, 05.06.2018

Mein Ergebnis ist dann immer

\frac{π^{2} \cdot a \cdot b \cdot c}{6}

und ich weiß nicht wo der Fehler liegt. Auf jeden Fall muss ich ja mit einer anderen Parametrisierung rechnen, es ergibt sich bei mir die Funktionaldeterminante

a b c r^{2} cos (x) (cos (x) {cos}^{2} (y) + {cos}^{2} (x) {sin}^{2} (y) + {sin}^{2} (x))

jedoch kommt beim Integrieren halt nichts brauchbares raus..

DerDepp aktiv_icon

22:29 Uhr, 05.06.2018

Du hast offenbar mindestens einen Fehler bei der Berechnung der Funktionaldeterminante. Um dir nun weiter helfen zu können, müsstest du die Berechnung hier posten.

Emilia200498 aktiv_icon

22:38 Uhr, 05.06.2018

Okay, einen Moment, ich poste zuerst einmal meine Jacobi-Matrix.
Meine Frage nochmal:
Ich habe ja jetzt eine andere Parametrisierung.
Bleiben die Grenzen trotzdem gleich? Und integriere ich zuerst nach

θ,

dann nach

φ

und dann nach r?

Emilia200498 aktiv_icon

22:44 Uhr, 05.06.2018

(\begin{matrix} a \cdot cos (θ) \cdot cos (φ) & - a \cdot r \cdot cos (θ) \cdot sin (φ) & - a \cdot r \cdot sin (θ) \cdot cos (φ) \\ b \cdot cos (θ) \cdot sin (φ) & b \cdot r \cdot cos (θ) \cdot cos (φ) & - b \cdot r \cdot sin (θ) \cdot sin (φ) \\ c \cdot sin (θ) & 0 & c \cdot r \cdot cos (θ) \end{matrix})

Die Berechnung der Determinante war etwas lang, habe es mit Wolfram

α

zusammenfassen lassen und kam auf das obere Ergebnis.
Habe dann halt zuerst nach

θ

von 0 bis

π

integriert, dann

φ

von 0 bis

2 π

und

r

von 0 bis 1.
Habe auch probiert, die Grenzen irgendwie zu vertauschen aber bringt nix.

Danke für die Mühe, wirklich!!

DerDepp aktiv_icon

01:55 Uhr, 06.06.2018

In "deinen" Kugelkoordinaten wird der Winkel

θ

anders verwendet als im Standard. Bei dir ist

θ

der Winkel zwischen dem Vektor

\vec{r}

und

x y

-Ebene. In der Konvention ist

θ

aber der Winkel zwischen dem Vektor

\vec{r}

und der

z

-Achse. Daher sind in "deinen" Kugelkoordinaten

\sin θ

und

\cos θ

vertauscht. Das kannst du so lassen, aber dann liegt

θ

nicht im Intervall

[0; π]

, sondern im Intervall

[- π / 2, + π / 2]

. Du hast die Jacobi-Matrix richtig berechnet, davon brauchst du aber noch die Determinante:

∣ J ∣ = ∣ \begin{array}{c} a \cos θ \cos φ & - a r \cos θ \sin φ & - a r \sin θ \cos φ \\ b \cos θ \sin φ & b r \cos θ \cos φ & - b r \sin θ \sin φ \\ c \sin θ & 0 & c r \cos θ \end{array} ∣

Bei einer Determinante kannst du Koeffizienten, die in einer Zeile vorkommen, vor die Determinante ziehen. In der ersten Reihe kommt überall

a

vor, in der zweiten Zeile überall

b

und in der dritten Zeile überall

c

∣ J ∣ = a \cdot b \cdot c \cdot ∣ \begin{array}{c} \cos θ \cos φ & - r \cos θ \sin φ & - r \sin θ \cos φ \\ \cos θ \sin φ & r \cos θ \cos φ & - r \sin θ \sin φ \\ \sin θ & 0 & r \cos θ \end{array} ∣

Derselbe Trick funktioniert auch mit Spalten. In der zweiten Spalte taucht der Faktor

r \cos θ

auf und in der dritten Spalte überall der Faktor

r

. Also gilt:

∣ J ∣ = a \cdot b \cdot c \cdot r^{2} \cos θ \cdot ∣ \begin{array}{c} \cos θ \cos φ & - \sin φ & - \sin θ \cos φ \\ \cos θ \sin φ & \cos φ & - \sin θ \sin φ \\ \sin θ & 0 & \cos θ \end{array} ∣

Die verbliebene Determinante kannst du nach Laplace entwickeln:

∣ \cdot ∣ = c o s θ \cos φ \cdot \cos φ \cos θ + \sin φ \cdot (\cos^{2} θ \sin φ + \sin^{2} θ \sin φ) + \sin θ \cos φ \cdot \sin θ \cos φ

∣ \cdot ∣ = c o s^{2} θ \cos^{2} φ + \sin^{2} φ + \sin^{2} θ \cos^{2} φ = \cos^{2} φ \cdot (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) + \sin^{2} φ = \cos^{2} φ + \sin^{2} φ = 1

Bei "deinen" Kugelkoordinaten lautet die Funktionaldeterminante also:

∣ J ∣ = a b c r^{2} \cos θ

Das Volumen ist damit (beachte die geänderten Grenzen bei der Integration über

θ

V = \int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 π} d φ \int_{- π / 2}^{π / 2} d θ a b c r^{2} \cos θ = 2 π a b c \int_{0}^{1} r^{2} d r \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos θ d θ = 2 π a b c \cdot {[\frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{1} \cdot [\sin θ]_{- π / 2}^{π / 2}

V = 2 π a b c \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} π a b c

Emilia200498 aktiv_icon

14:31 Uhr, 06.06.2018

Vielen vielen Dank für die ausführliche Hilfe und Geduld.
Ich bin es alles nochmal von vorne durchgegangen und kam nun auch auf das Ergebnis. Das Problem lag bei den Grenzen und der Determinantenberechnung (ich wusste das mit dem vorziehen nicht)
Das hat es deutlich vereinfacht.

Ich habe es jetzt auf jeden Fall auch wirklich verstanden, vielen Dank für die Hilfe und noch einen schönen Tag!!

LG

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