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Volumen Rotationskörper

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Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Rotationskörper, volum

 
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PeterHoch10

PeterHoch10 aktiv_icon

14:33 Uhr, 16.05.2021

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Sei K der Körper, der entsteht, wenn man eine Funktion f:I→ℝ um die x-Achse rotieren lässt.
Das Volumen von K ist durch die Formel gegeben:

V=π∫abf(t)2dt,

wobei a und b die Randpunkte des Intervalls sind. Die Mantelfläche des Rotationskörpers ist gegeben durch

A=2π∫abf(t)1+f'(t)2dt.

a) Begründen Sie die beiden Formeln anschaulich, also ohne Beweis.
b) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers der Funktion f:[1,∞)→ℝ mit f(t)=t-α,α>0.


Leider habe ich noch keinen guten Ansatz für die beiden Aufgaben, da wir das so noch nicht in der Vorlesung hatten... Für b) habe ich:

V=π∫1∞(t-α)2dt=..... =12α-1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
N8eule

N8eule

19:08 Uhr, 16.05.2021

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Hallo
zu a)
Das kannst du einfach wie in der Schule veranschaulichen.
Erinnere dich, wie sicherlich auch euer Lehrer und Schulbuch die Anfänge der Integralrechnung verständlich zu machen suchte.
Zum Starten wird das Rotationsvolumen der einfachere Teil sein.
Dieses kann man sich als lauter ganz ganz dünne Scheiben vorstellen, die man dann wieder zum Gesamtvolumen zusammensetzt.
Ich nutze den Begriff "Scheiben".
Ich erhoffe aus deiner Zusammenarbeit, dass du anstelle von "Scheibe"
> einen präziseren mathematisch geometrischen Körper benennst,
> die Formel für die Berechnung des Volumens dieses Körpers vor Augen führst,
> hieraus eine passende Skizze anfertigst,
> hieraus dir selbst klar machst, was die a) ganz einfach von dir an Verständnis fordert.

zu b)
Ich ahne, ja, das könnte schon weitreichend zielführend sein.
Ich ahne aber auch, dass wir nicht umhinkommen werden, dass du das, was du mit
" =... = "
arg abkürzend vereinfacht hast, ausführlicher erarbeiten und in eine Fallunterscheidung führen werden müssen.

:-)
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