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Volumen Streichholz (Quader + Kugel) berechnen
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper, Streichholz, volum
 
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Wie berechnet man das Volumen eines Streichholzes? Mit Streichholz meine ich einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader mit quadratischer Grundfläche und einer Kugel, deren Durchmesser größer ist als die Diagonale des Quadrats (der Grundfläche). Variablen Seitenlänge quadratische Grundfläche Länge Streichholz Durchmesser Kugel Mit Zylinder und Kugel wäre mir die Berechnung klar, aber so will mir keine (einfache) Lösung einfallen. Gruß, Micha.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo wie weit ragt der Quader in die Kugel? bis er mit seinen Ecken oben anstößt? och fürchte, da musst du integrieren . ledum- |
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wie weit ragt der Quader in die Kugel? bis er mit seinen Ecken oben anstößt? Ist das nicht egal, solange der Quader zur Gänze in die Kugel "eintaucht" und auf der Gegenseite nicht wieder herauskommt? Ich gehe davon aus, dass mit der Länge des Streichholzes die Gesamtlänge gemeint ist, also Quader und Kugelteil. |
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ist die Gesamtlänge. Die anderen Längen kann man leicht berechnen. Es geht um die Berechnung des Gesamt-Volumens, wie weit das Holz in die Kugel ragt, ist dabei irrelevant - wenn es hilft, reicht es genau bis zur Mitte :-) Man kann es sich auch so vorstellen, das die Kugel komplett ist und das Holz entsprechend abgeschnitten. |
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Wichtig wird vor allem sein, ob du eine pragmatische Lösung suchst, die auch vereinfachende Näherungen verträgt, oder ob dir an einer exakten mathematischen Lösung gelegen ist. |
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Die Näherung wäre Kugel plus Quader mit etwas Überlappung. Schon klar. Ich benötige die exakte Lösung. Die Lösung ist wahrscheinlich, den komplexen Teil des Körpers in (unendlich dünne) Scheiben zu schneiden und diese dann als Rechtecke Kreissegmente zu berechnen. Ich hatte gehofft, es gibt eine fertige Formel für so einen einfachen Körper. |
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Der Vorschlag ist also doch Integration, denn nichts anderes ist das in Scheiben verschiedenen Radiuses zu zerlegen, und aufzuaddieren. ledum |
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ja, ist wohl so. Ich bin da nicht mehr so drin. Wenn ich es schaffe, das Volumen auszurechnen, wie kann ich das Ergebnis kontrollieren? Sonst schnitz ich mir so einen Körper und tauch ihn ins Wasser :-) hat schon vor Jahren geklappt. |
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...also nun doch die pragmatisch einfache Lösung? |
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Die Lösung ist wahrscheinlich, den komplexen Teil des Körpers in (unendlich dünne) Scheiben zu schneiden und diese dann als Rechtecke ± Kreissegmente zu berechnen. Ja, so ist es wohl - das Quadrat vier Kreissegmente. Durch die Verschneidung ist der Körper eben nicht sooo einfach. Das auftretende Integral wird vermutlich nicht symbolisch lösbar sein, womit du dann letztlich bei einer (mehr oder weniger beliebig genauen) numerischen (Näherungs)lösung bist. Kann nicht dein CAD/Modellierprogramm das Volumen ohnedies numerisch ausgeben? Wenn ich es schaffe, das Volumen auszurechnen, wie kann ich das Ergebnis kontrollieren? Du kannst zB meine Ergebnisse mit den deinen vergleichen - siehe Anhang. Dort hab ich dir auch eine einfache Näherungsformel angeboten. Wenn ein Fehler von vertretbar ist .  |
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Danke für deine Mühe. Das hilft mir weiter. Der Fehler wird größer, je kürzer ist. Mein "CAD-Programm" war Paint3D von Windows10 ;-) Ein echtes CAD-Programm kann das sicher ausrechnen. |
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> Der Fehler wird größer, je kürzer l ist. Ja, aber nur prozentuell, weil der kritische Teil mit der Verschneidung damit einen größeren Anteil am Gesamtvolumen hat. Im Wesentlichen ist der Fehler aber vom Verhältnis a:-D) abhängig. Meiner Näherungsformel wohnt keine spezielle mathematische Überlegung inne. Ausgehend vom Quader mit berührend aufgesetzter Kugel, was natürlich immer ein zu kleines Ergebnis liefert, hab ich den Quader einfach ein wenig länger angesetzt. Durch Trial and Error hab ich mich dann im Vergleich mit den exakt berechneten Werten auf eine Verlängerung um entschieden. wurde anstelle von gewählt, damit die Formel Einheitenbalanciert bleibt. Gut möglich, dass zB (mit einem anderen Faktor davor) bessere Ergebnisse liefert. Im Anhang die Formeln, die ich für die exakte Berechnung verwendet hatte.  |
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Super, Danke! |
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