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Volumen des Einheitskreises konkret berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Maßtheorie

Tags: charakteristische Funktion, Einheitskreis, Indikatorfunktion, Integration, Maßtheorie, volum, Volumenintegral

johnmath aktiv_icon

16:34 Uhr, 05.07.2017

Hallo :-),

ich soll das Volumen des Einheitskreises

E = {(x, y) \in ℚ \times ℝ : x^{2} + y^{2} \leq 1} \subset ℝ^{2}

berechnen, also das Integral:

\int_{E} 1 d x

. Meine Idee war es dann, das Ganze in ein Rechteck einzubetten, also das Integral mit der charakteristischen Funktion zu bilden:

\int_{[- 1, 1]^{2}} 1_{E} d x

.

Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Wie könnte man das denn noch machen?

Viele Grüße
johnmath :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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ledum aktiv_icon

16:41 Uhr, 05.07.2017

Hallo
mit dem Einheitsquadrat würdest du ja dessen Inhalt berechnen.
so musst du entweder ein

2 d

integral mit den richtigen Grenzen berechnen, und dA=dxdy. Einfacher wird es mit Polarkoordinaten dA=rd\phi*dr
was du mit

d x

in deinem Integral meinst verstehe ich nicht.
Gruß ledum

johnmath aktiv_icon

16:52 Uhr, 05.07.2017

Hallo ledum,
vielen Dank für die schnelle Antwort! Wir haben das so definiert:

"Es seien

M

eine beschränkte Menge und

Q \supset M

ein Quader in

ℝ^{n}

. Die Menge

M

heißt dann Jordan-messbar, wenn ihre charakteristische Funktion

1_{M}

integrierbar ist. Dann heißt

v o l (M) = \int_{Q} 1_{M} d x \in ℝ_{\geq 0}

das Volumen dieser Menge

M

."

Deshalb habe ich das so gemacht wie oben geschildert.
Viele Grüße
johnmath

ermanus aktiv_icon

17:02 Uhr, 05.07.2017

Hallo,
du müsstest doch Sätze haben mit denen du das mehrdimensionale Problem
deiner charakteristischen Funktion auf niedrigere Dimensionen (=1)
herunterbrechen kannst.
Da gibt es sicher diverse Sätze (in der Vorlesung bvielleicht in der Nähe vom Satz von Fubini).

johnmath aktiv_icon

17:04 Uhr, 05.07.2017

Das dachte ich auch schon, aber die Fallunterscheidung bei

1_{M}

macht es schwierig...

johnmath aktiv_icon

17:34 Uhr, 05.07.2017

Hallo ermanus,

mein Versuch war jetzt so:

\int_{[- 1, 1]^{2}} 1_{M} d x = \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} 1 d x d y

, aber dann habe ich gemerkt, dass das nur zulässig ist, wenn

1_{M}

stetig wäre... Nur auf dem Kreis wäre

1_{M}

ja stetig, aber wie soll ich da ein Integral aufstellen? Den Satz von Fubini und ähnliches hatten wir nur für Quader bisher.

Viele Grüße
johnmath

ermanus aktiv_icon

18:24 Uhr, 05.07.2017

Warum soll

1_{M}

auf dem Quader stetig sein? Stetigkeit ist keine notwendige
Voraussetzung für Integrierbarkeit. Es ist vielmehr umgekehrt, dass man aus der Stetigkeit
einer Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall auf Integrierbarkeit,
ja sogar Riemann-Inegrierbarkeit schließen kann. Treppenfunktionen sind doch offenbar
integrierbar, aber eher selten stetig. Übrigens ist Fubini sicher der richtige Ansatz.

Der Satz von Fubini wird zwar für Quader als Grundräume ausgesprochen, die
charakteristischen Funktionen müssen aber keineswegs die von Quadern sein.

Du musst dir das

1_{E}

vorstellen als Funktion

f : [- 1, 1]^{2} \to [0, 1]

mit

f (x, y) = 1

, falls

x \in E

f (x, y) = 0

sonst,

d.h.

für jedes

x \in [- 1, 1]

ist f(x,y)=1, falls

y \in [- \sqrt{1 - x^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}}]

,
du hast also zu jedem

x \in [- 1, 1]

eine eindimensionale charakteristische Funktion

g_{x} := 1_{[- \sqrt{1 - x^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}}]}

auf

[- 1, 1]

. Damit kannst du deinen Fubini zusammensetzen.

johnmath aktiv_icon

18:31 Uhr, 05.07.2017

Hallo ermanus,
war mein Ansatz oben dann richtig? Ich stehe komplett auf dem Schlauch: Wie soll mit der Fallunterscheidung bei

1_{M}

unter Anwendung von Fubini umgehen?

Viele Grüße
johnmath

johnmath aktiv_icon

18:47 Uhr, 05.07.2017

Hallo ermanus,
danke, ich versuche es jetzt mal so und melde mich wieder.

Viele Grüße
johnmath

ledum aktiv_icon

18:49 Uhr, 05.07.2017

Hallo
dein Ansatz oben integriert ja über einen Quader und nicht über die Indikatorfunktion, die für

y \in [- \sqrt{1 - x^{2}}, + \sqrt{1 - x^{2}}] 1

ist und sonst 0.
Gruß ledum

johnmath aktiv_icon

19:10 Uhr, 05.07.2017

Hallo ledum,
danke, mir ist jetzt ganz klar geworden, was ich bisher falsch gemacht habe.
Ist es wichtig, dass der "Einheitskreis" in

ℚ \times ℝ

statt in

ℝ^{2}

liegt?
Viele Grüße
johnmath

johnmath aktiv_icon

19:41 Uhr, 05.07.2017

Hallo ledum, hallo ermanus,

sollte das nun so gehen:

Sei

1_{E} := f

. Dann gilt:

\int_{[- 1, 1]^{2}} f (x, y) d (x, y) = \int_{- 1}^{1} (\int_{- 1}^{1} f (x, y) d x) d y

Nun gilt

f (x, y) = 1

für

y \in [- \sqrt{1 - x^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}}]

, also:

\int_{- 1}^{1} 2 d y

für

y \in [- \sqrt{1 - x^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}}]

Ist das bis dahin komplett falsch? Es tut mir leid, falls ich mich besonders blöd anstellen sollte, aber es gibt wirklich kein Thema, das mir schwerer fällt als Integralrechnung...
Wie geht es dann weiter (sofern das obere halbwegs richtig ist)?

ermanus aktiv_icon

19:53 Uhr, 05.07.2017

Für jedes

x \in [- 1, 1]

ist

\int_{- 1}^{1} f (x, y) d y = \int_{- 1}^{1} g_{x} (y) d y = \int_{- \sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}} d y =

= 2 \sqrt{1 - x^{2}}

.
Damit wird

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} f (x, y) d y d x = \int_{- 1}^{1} 2 \sqrt{1 - x^{2}} d x .

Nun musst du nur noch dieses Integral berechnen ...

johnmath aktiv_icon

22:03 Uhr, 05.07.2017

Hallo ermanus,
vielen Dank! Das war ja eigentlich ganz einfach... Den Rest schaffe ich :-)

Viele Grüße
johnmath

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