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Volumen einer Kugel, Integralrechnung

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Tags: Kugelkoordinaten

Eleonora71 aktiv_icon

18:08 Uhr, 24.10.2016

Guten Abend,

bestimmen muss ich das Volumen der Kugel mit Radius

R,

indem ich das Integral

\int_{K u g e l} 1 d x d y d z

auswerte. Die Berechnung soll ich in Kugelkoordinaten tätigen.

Kugelkoordinaten sind ja:

x = r cos φ sin θ

y = r sin φ sin θ

z = r cos θ

Das Volumenelement ist ja bekanntlich:

d V = (r^{2} sin θ) d φ d θ d r

Schwer tue ich mich jetzt beim korrekten überführen des Integrals in kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten.

\int_{K u g e l} 1 d x d y d z = \int_{0}^{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} r^{2} sin θ d φ d θ d r

Stimmt das so? Also wenn man das auswertet kommt nicht

\frac{4}{3} π r^{3}

heraus, somit muss irgendwo ein Fehler sein, aber wo?

Herzlichen Dank für eventuelle Antworten im Voraus,

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

19:32 Uhr, 24.10.2016

Hallo
vielleicht hast du einen Fehler in der Reihenfolge?

t Θ

wird von 0 bis

π

integriert,

φ

von 0 bis

2 π,

dein Integral suggeriert das andersrum
Wenns nicht daran liegt, zeig deine Rechnung.
Gruß ledum

Eleonora71 aktiv_icon

19:52 Uhr, 24.10.2016

Hallo,

aber bis jetzt ist kein Fehler drin?

Also ich habe so gerechnet:

\int_{0}^{R} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} r^{2} sin θ d φ d θ d r

= \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{1}{3} R^{3} sin θ d φ d θ

= \int_{0}^{π} \frac{2}{3} π R^{3} sin θ d θ

= - cos θ \frac{2}{3} π R^{3} |_{0}^{π} = \frac{4}{3} π R^{3}

Yes hatte mich verrechnet. Ich frage mich aber noch was eigentlich mit der Flächennormale passiert? Bzw. wieso wir jetzt hier keine haben?

Grüße

Elena

ledum aktiv_icon

20:08 Uhr, 24.10.2016

Das Volumen hat doch nichts mit der Flächennormalen zu tun? verwechselst du das mit dem Fluss einen Vktorfeldes durch die Oberfläche?
du summierst doch über die kleinen Würfelchen r*sin(\theta)d\theta*d\phi*dr?
deine Schreibweise ist sehr schlecht, so wie du das Intgral aufgeschrieben hast integriert man erst über das innerste Teil also

d θ,

dann

d φ,

dann dr! hier kam es nicht drauf an aber wenn in anderen Fällen die Grenzen noch von

r

oder

φ

abhingen wäre es falsch.
Gruß ledum

Eleonora71 aktiv_icon

20:57 Uhr, 24.10.2016

Hallo,

ja die Berechnung habe ich formal nicht so gut ausgeführt. Ja wie kann man das denn mit der Flächennormale besser verstehen? Hättest du vielleicht ein Beispiel?

Grüße

Elena

ledum aktiv_icon

22:23 Uhr, 24.10.2016

Hallo
die Frage ist mir nicht klar, wo kamen denn bei dir Integrale (hoffentlich nur über Flächen, nicht Volumen mit Flächennormalen vor?
stell einen Rahmen der Fläche

A

in einen Fluss, woei A nicht unbedingt senkrecht zur Flußrichtung ist , wenn du die Geschwindigkeit des Wassers ( liter/s an jeder Stelle kennst , wie kannst du dann ausrechnen wieviel Wasser pro

s

durch den Ramen tritt? stell dir erst mal einen rechteckigen Rahmen vor, der unter 30° zur Strömungsrichtung liegt.
oder wieviel sonne scheint durch dein Fenster, wenn du die Richtung der Sonne kennst?

t

. Warum ist es am Äquator wärmer als bei uns? warum im Sommer wärmer als im Winter? hat alles mit dem Normalenvektor zu tun.
Gruß ledum

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