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Volumen einer Kugel mit einem Bohrloch berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

mathe-mitch aktiv_icon

11:27 Uhr, 11.12.2013

Hallo, habe folgende Frage, bin schon relativ weit gekommen in der Aufgabe, aber an einer Stelle komme ich nicht wirklich weiter.

Aufgabe: Man hat eine Kugel mit Radius

R,

in der ein Loch mit Radius

\frac{1}{2} R

gebohrt wird, wobei der Rand des Bohrlochs genau den Mittelpunkt der Kugel berührt ( Wenn man das ganze "von oben" betrachtet sieht es so ein bisschen wie ein Halbmond aus)
Der Tipp zur Aufgabe: man soll das Volumen mit den Zylinderkoordinaten berechnen.

Wenn ich das Bohrloch genau in der Mitte der Kugel mache (das Beispiel steht bei uns im Skript relativ ausführlich vorgerechnet
http://analysis.math.uni-kiel.de/vorlesungen/ana3.13/ana3.pdf
Seite

36 - 37)

dann sieht die Menge so aus :

(x, y, z) \in ℝ^{3} K^{\cdot} = {x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, x^{2} + y^{2} \geq {(\frac{1}{2} R)}^{2}}

Nun da ich jetzt das Loch um

\frac{1}{2} R

versetzt bohre, zB an der x-Achse entlang, dann sieht die Menge so aus:

K = {x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, {(x + \frac{1}{2} R)}^{2} + y^{2} \geq {(\frac{1}{2} R)}^{2}}

Nun nehme ich mir die Zylinderkoordinatenfunktion:

T : (0, \infty) \times (- Π, Π) \times ℝ \to ℝ^{3}, T (r, Φ, z) = (r \cdot cos Φ, r \cdot sin Φ, z)

und setzte das alles für

x, y, z \in K

ein und kriege somit die gleiche Menge blos mit anderen Parametern:

L = {r^{2} + z^{2} \leq R^{2}, R \cdot cos Φ + r \geq 0}

Jetzt kann man die Integralgrenzen bestimmen.

z

sieht recht leict aus, weils nur von

R

und

r

abhängt:

z \in [- \sqrt{R^{2} - r^{2}}, \sqrt{R^{2} - r^{2}}]

Φ \in (- Π, Π

)sollte eigentlich auch gelten, das kann ich mehr oder weniger an dem Bild sehen, aber wie zeige ich das rechnerisch?
Und das große Problem ist mein

r,

wie berechnet man das? Mein Prof hats nicht erklärt, sondern immer sowas gesagt wie : "naja hier erkennt man an dem Bild, dass es so und so sein muss"

Sry für den Riesenlangen Text. Ich hoffe jemand blickt da noch durch :-)
Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

12:15 Uhr, 11.12.2013

Hallo,

Du kannst den

Φ

-Bereich in 2 Teile aufteilen:

Φ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],

dort ist

cos (Φ)

nichtnegativ also ist ohnehin

r + R \cdot cos (Φ) \geq 0

und Du hast nur

r \leq R

Φ \in [\frac{π}{2}, \frac{3 \cdot π}{2}],

dort ist

cos (Φ)

negative und es muss gelten:

- R \cdot cos (Φ) \leq r \leq R

was ja auch mit der anschauung übereinstimmt.

gruß pwm

mathe-mitch aktiv_icon

12:50 Uhr, 11.12.2013

Deine Aufteilung von dem

2 Π

Intervall macht voll Sinn, aber wenn ich dich richtig verstehe, habe ich dann für

Φ \in [- \frac{Π}{2}, \frac{Π}{2}], R \geq r \geq 0

und für

Φ \in (\frac{Π}{2}, 3 \frac{Π}{2}), R \geq r \geq - R \cdot cos Φ

.
Und wenn man

z

als "Außenintegral" nehmen würde, hätte man 5 Integrale, oder?

Bzw dürfte ich mir dann die Integrale mit Grenzen

Φ \in [- \frac{Π}{2}, \frac{Π}{2}], R \geq r \geq 0

einfach sparen? Weil sie sowieso eine ausgefüllte Halbkugel beschreiben und das Volumen Dort kennt man ja.

pwmeyer aktiv_icon

14:07 Uhr, 11.12.2013

Hallo,

wieso 5 Integrale?

Auf jeden Fall kannst Du Deine Idee benutzen. Alternativ kann man ja auch das bekannte Kugelvolumen nehmen und das Volumen des Bohrlochs abziehen.

Gruß pwm

mathe-mitch aktiv_icon

18:41 Uhr, 11.12.2013

Sry ich war bis jetzt an der Uni, hatte vorhin keine Zeit um die Integrale nochmal vernünftig aufzuschreiben.

Also wenn ich nur die Halbkugel ausrechnen will, wo das Loch gebohrt wurde, hätte ich dann für die Funktion 1*Determinante der Totalen Ableitung von

T = r, d . h

. :

\int_{\frac{Π}{2}}^{\frac{3}{2} Π} (\int_{- R \cdot cos Φ}^{R} (\int_{- \sqrt{R^{2} - r^{2}}}^{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} r d z) d r) d Φ

Was mich ein bisschen stört ist, dass

z

ist von

r

abhängig,

r

ist von

Φ

abhängig,

d . h

. ich kann nur in der Reihenfolge integrieren und nicht

z . B

(d Φ, d z,

dr) oder irgendeine andere?

pwmeyer aktiv_icon

19:53 Uhr, 12.12.2013

Hallo,

ja das ist so. Vielleicht gibt es alternative Ansätze, aber das scheint mir das nächstliegende.

Gruß pwm

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