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Volumen einer Menge

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Integration

Tags: Funktion, Integration, volumenberechnung

Baumstamm aktiv_icon

16:05 Uhr, 30.04.2020

Hallo zusammen

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei

D = {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1, x^{2} + z^{2} < 1, y^{2} + z^{2} < 1}

Zeigen Sie das das Volumen vol(D)

= 8 (2 - \sqrt{2})

ist

Für diese Aufgabe soll man (nehme ich an) den Transformationssatz verwenden. Ausserdem habe ich den Tipp erhalten, diese Menge zuerst in 8 gleich grosse Stücke zu zerteilen und dann jedes Stück in 6 weitere.

Wenn ich das richtig sehe, dann ist

D

der Schnitt von 3 Zylindern mit Radius

1,

die jeweils Achsenparallel zu einer der 3 Koordinatenachsen sind. Somit bietet sich als erste Zerteilung der Schnitt entlang den 3 Koordinatenebenen an, was schon mal 8 gleich grosse Stücke liefert. Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter bzw. habe sogar schon versucht diese Aufgabe mittels CAD zu lösen, was allerdings nicht geklappt hat.

Daher meine Frage an euch: Könnte mir jemand einen Hinweis geben, wie man diese Aufgabe angehen sollte?

Gruss Baumstamm

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

abakus

16:18 Uhr, 30.04.2020

Stell dir vor, du hättest einen Wasserball, der nicht kugelformiq, sondern würfelförmig ist. Der wird jetzt mit Druckluft weiter aufgeblasen, und die 6 glatten Flächen wölben sich nach außen. So etwa sieht dein von 3 Zylindern begrenzter Körper aus.
Nun kannst du jede der 6 kongruenten Seitenflächen in 4 kongruente Teilflächen zerlegen (siehe rote Linien). Den Körper kannst du damit - vom Körpermittelpunkt ausgehend- in 24 kongruente Teilkörper zerlegen.

Mathe45

16:40 Uhr, 30.04.2020

siehe auch

de.wikipedia.org/wiki/Steinmetz-K%C3%B6rper

Baumstamm aktiv_icon

19:45 Uhr, 30.04.2020

Vielen Dank für die beiden Tipps.
Ich habe versucht, den Körper so zu zerschneiden, wie du es vorschlägst und auch im Internet noch danach gesucht, jedoch habe ich meine Mühe damit, ein solches Teilstück dann sinnvoll zu parametrisieren. Ich habe mir schon überlegt, dass ich eventuell die darin enthaltene Pyramide über den Radius ausdrücken könnte, jedoch erhalte ich dann ein recht hässliches Rest-Teil, bei dem ich keinen blassen Schimmer habe, wie ich das mathematisch so beschreiben soll, dass ich dann das Volumen über Integration berechnen kann. Ich glaube ich drehe mich immer noch im Kreis.

HAL9000

20:33 Uhr, 30.04.2020

Der Körper besitzt jede Menge Symmetrieachsen. Ich würde vorschlagen, man betrachtet nur den ersten Oktanten (d.h.

x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

), und dort auch nur die per Ebene

x = y

geteilte "Hälfte" mit

x \geq y

. Von diesem Teilstückvolumen nimmt man dann das

2 \cdot 2^{3} = 16

-fache, um auf das Gesamtvolumen zu kommen.

Nun zu dem Teilstück: Da würde ich Zylinderkoordinaten

x = r \cos (φ), y = r \sin (φ), z = z

vorschlagen, für unser Teilstück in den Grenzen

0 \leq φ \leq \frac{π}{4}

sowie wegen

r^{2} = x^{2} + y^{2} < 1

dann

0 \leq r < 1

. Bei festem

r, φ

muss zudem

x^{2} + z^{2} = r^{2} \cos^{2} (φ) + z^{2} < 1

, d.h.,

0 \leq z < \sqrt{1 - r^{2} \cos^{2} (φ)}

gelten (

y^{2} + z^{2} < 1

ist dann wegen Bedingung

x \geq y

automatisch erfüllt). Damit haben wir mit Volumendifferential

d V = r d r d φ d z

dann

V = 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{1} \sqrt{1 - r^{2} \cos^{2} (φ)} r d r d φ

.

Das

r

-Integral kann man noch ganz gut zu Fuß ausrechnen, beim anschließenden

φ

-Integral braucht man (trotz zwischenzeitlicher Vereinfachungen) ein gutes Auge - oder ein CAS.

EDIT (4.5.20): Herzlichen Dank für das überschwängliche Interesse. Man schreibt doch immer wieder gern für den Papierkorb.

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