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Volumen einer Pyramide bei Vektoren

Schüler Gymnasium,

Tags: Pyramide, Spitze, Vektor, volum

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21:36 Uhr, 07.04.2019

Fragestellung : siehe Anhang

Problem : Hey Leute, ich komme bei dieser Aufgabe komplett nicht weiter. Ich weiß weder noch wie ich es angehen soll, noch welche Ansätze ich brauche. Ich bin Mega verzweifelt. Wir haben mit den Vektoren erst neu angefangen. Laut meiner Recherche im Internet weiß ich ungefähr, dass es hier auch um vektorprodukte geht. Wenn einer mir die Aufgabe komplett erklären und den Rechenweg zeigen könnte, wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mathe45

21:40 Uhr, 07.04.2019

Bild ev. zu groß

(< 500

kB )

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21:53 Uhr, 07.04.2019

A (3 | - 2 | 1), B (3 | 3 | 1), C (6 | 3 | 5), D (6 | - 2 | 5), E (7 | - 2 | - 2)

das Quadrat ABCD sei die Grundfläche einer senkrechten quadratischen Pyramiden ABCDS mit der Spitze S.
Bestimme die Koordinaten des Punktes

S

so, dass die Pyramide ein Voumen von

125 (

Volumeneinheiten) hat.
( zur Kontrolle:

S (16,5 | 0,5 | - 6)

oder

S (- 7,5 | 0,5 | 12)

. )

Mathe45

22:46 Uhr, 07.04.2019

Wie weit bist du schon in deiner Rechnung ?
( "... setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt. " )

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22:55 Uhr, 07.04.2019

Das ist es ja.... ich komme gar nicht weit. Nicht mal ein Ansatz habe ich.

Respon

22:59 Uhr, 07.04.2019

Welche Methoden sind dir bekannt ?
Vektorprodukt
Spatprodukt
Gleichung einer Ebene
Gleichung einer Geraden
Mittelpunkt einer Strecke
Betrag eines Vektors
Hessesche Normalform
usw.

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00:07 Uhr, 08.04.2019

Alle genannten Regeln außer Spaltprodukt und hessische normalformel

Respon

00:17 Uhr, 08.04.2019

Gut, dann bestimme vorerst folgende Größen:
Quadratseite

s = | \vec{A B} |

Mittelpunkt des Quadrates

M = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{C})

Normalvektor auf der Quadratfläche

\vec{n} = \vec{A B} x \vec{A C}

Du bekommst

s = 5 \Rightarrow

Grundfläche

25

M = (\begin{matrix} 4,5 \\ 0,5 \\ 3 \end{matrix})

\vec{n} = (\begin{matrix} 20 \\ 0 \\ - 15 \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

V_{P} = \frac{G \cdot h}{3} = \frac{25 \cdot h}{3}

V_{P} = 125

125 = \frac{25 \cdot h}{3} \Rightarrow h = 15

Die Spitze

S

bekommst du mit der Vektoraddition

\vec{S} = \vec{M} \pm \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |} \cdot h = . .

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21:53 Uhr, 08.04.2019

Wie kommen sie denn auf

s = 5,

und was ist denn in dieser Rechnung dieses

s = 5

Respon

06:01 Uhr, 09.04.2019

Quadratseite

s = | \vec{A B} |

\vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}); \vec{B} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

( Ortsvektoren )

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})

| \vec{A B} | = | (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{0^{2} + 5^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5

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07:13 Uhr, 09.04.2019

Und wieso muss man den Mittelpunkt berechnen und im Nachhinein ein normalvektor. Dazu kommt noch diese Additions Rechnung am Ende, die ich ebenfalls nicht nach vollziehen kann. Ich bin verwirrt...
könnten sie vielleicht Erklärungen Bzw begründen für die einzelnen Schritte geben ..

Respon

07:16 Uhr, 09.04.2019

Der Höhenfußpunkt der quadratischen Pyramide befindet sich in der Mitte des Quadrates, also der Mittelpunkt der Strecke

\bar{A C}

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07:17 Uhr, 09.04.2019

Und warum berechnet man einen normalvektor
Und wofür ist diese Addition am Ende ?

Respon

07:18 Uhr, 09.04.2019

Das ist "Basiswissen" bezüglich Vektoren. Schau dir das in deinen Unterlagen nochmals an.
Die Höhe der Pyramide steht normal auf der Quadratfläche, zeigt also in Richtung Normalvektors. Da ich den Betrag der Höhe schon bestimmt habe

(h = 15),

bestimme ich vom Normalvektor den Einheitsvektor indem ich durch den Betrag des Normalvektors dividiere und multipliziere anschließend mit dem Betrag der Höhe. Damit bekomme ich den "Höhenvektor".
Bezüglich Vektoraddition ( Grafik )

Respon

11:30 Uhr, 09.04.2019

Falls es keine weiteren Fragen mehr gibt - Beispiel abhaken.

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16:57 Uhr, 09.04.2019

Inwiefern zeigt es denn in Richtung des vektorprodukts. Wenn man den vektorprodukt von AC

x

AB bildet dann ist es doch eigentlich senkrecht und zeigt nicht in Richtung der Spitze. Tut mir leid

...

. wir haben das erst letzte Stunden angefangen und schon kriegen wir solche Aufgaben, die ich ziemlich gar nicht versteh oder nachvollziehen kann...

Respon

19:26 Uhr, 09.04.2019

"Höhenvektor" und Normalvektor sind beide Richtungsvektoren mit gleicher Richtung aber unterschiedlichen Beträgen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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