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Volumen einer Säule mit regelmäßigen Fünfeck´?

Schüler Mittelschule, 9. Klassenstufe

Geometrie

Werkstück

Dichte

Tags: dichte, Geometrie, werkstück

anonymous

21:55 Uhr, 04.06.2009

Bei Ausgrabungsarbeiten wurde eine Granitsäule von

2,6 m

Länge gefunden, dessen Querschnitt sich aus einem regelmäßigen Fünfeck & fünf Halbkreisen zusammensetzt.

dass ist leider eine Skizze aber ich kann die hier nich rein tun weil ich kein scanner habe..

der radius eines halbkreises ist 20cm und von

B

nach

C

sind es 27,5cm

a)

Berechne das Volumen der Säule

b)

Kann ein Flaschenzug, der mit höchstens drei Tonnen belastet werden darf, die Säule heben (Dichte Granit: 2,6gpro cm³ ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

22:23 Uhr, 04.06.2009

Hi,

Fünfeck kannst du dir aus 5 gleichseitigen Dreiecken vorstellen und die Halbkreise müsstest du so berechnen können.

Flächeninhaltsformel für ein gleichseitiges Dreieck:

\frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

Flächeninhaltsformel für einen Halbkreis:

\frac{π \cdot r^{2}}{2}

Gruß Shipwater

PS: Leider weis ich nicht, was du mit "B nach C" meinst.

anonymous

22:32 Uhr, 04.06.2009

ja genau so hab ich mir dass auch gedacht erst den flächeninhalt & so ausrechnen..

ja also da is ein fünfeck und ausenrum sind ja die fünf halbkreise diese gehen dann

2,6 m

nach hinten lang. wie berechne ich dann das volumen?

& \in

dem fünfeck ist ja ein dreieck ABC Strecke AB & von Strecke BC da ist dann so wie ein abstand gezeichnet der is 27,5cm.

genauer kann ichs auch leider nich beschreiben ..

Shipwater aktiv_icon

15:43 Uhr, 05.06.2009

Hi,

Skizze wäre nicht schlecht. Zeichne doch eine bei Paint oder so.

Gruß Shipwater

Shipwater aktiv_icon

23:12 Uhr, 05.06.2009

Hi,

es handelt sich ja um ein Prisma. Die Grundfläche besteht aus einem Fünfeck mit angefügten Halbkreisen. Und wie oben schon steht müsste man sich das Fünfeck als 5 gleichseitige Dreiecke vorstellen können, die Fläche des Fünfecks müsste somit dann

\frac{5 \cdot a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

sein. Und die 5 Halbkreise dürften eine Fläche von

5 \cdot π \cdot r^{2} \cdot \frac{1}{2}

haben. Die Grundfläche ist dann die Summe der Fläche des Fünfecks und der Fläche der Halbkreise. Und um das Volumen zu ermitteln, brauchst du nur noch die Grundfläche mit der Höhe zu multiplizieren.

Und bei der

b)

musst du, um das Gewicht herauszufinden, einfach das Volumen mit der Dichte multiplizieren.

Gruß Shipwater

PS: Sieht die Skizze ungefähr so aus?

m-at-he

03:56 Uhr, 06.06.2009

Hallo,

ich lese bei Shipwater immer was von 5 gleichseitigen Dreiecken und er benutzt auch für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks die Formel für gleichseitige Dreiecke. Das ist aber falsch! In einem regelmäßigen Fünfeck hat man es mit 5 gleichschenkligen Dreiecken zu tun, deren Basiswinkel 54° und der dritte Winkel 72° haben. Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 Winkel mit 60° und das aus solchen Dreiecken gebildete regelmäßige Polyeder ist ein regelmäßiges Sechseck! Man muß für die Berechnung der Fläche eines der 5 Dreiecke nur die korrekte Formel anwenden und dann kommt man auch auf das richtige Ergebnis. In der Flächenformel ersetzt man dazu einfach

\sqrt{3}

durch tan(54°).

anonymous

10:08 Uhr, 06.06.2009

ich vesuch es mal zu zeichnen aber so wie du es gemalt hast sie es nicht aus

Shipwater aktiv_icon

14:15 Uhr, 06.06.2009

Hi,

ja du hast recht, ich habe fälscherweise was falsches angenommen, mein Fehler.
Aber für ein Fünfeck gibt es ja die Flächeninhaltsformel

\frac{a^{2} \cdot \sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}}{4}

Gruß Shipwater

m-at-he

14:53 Uhr, 06.06.2009

Hallo shipwater,

warum weichst Du jetzt von dem schönen allgemeingültigen Ansatz ab und kramst eine Fünfecksformel raus? Eine spezielle Flächenformel hätte es für Sechsecke auch schon gegeben!

PS: Da die Fläche eindeutig bestimmt ist, gilt natürlich (kann man mittels Rechner nachprüfen), daß Deine

\sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}} =

5*tan(54°)

sind, also dem, was ich vorgeschlagen hatte.

Shipwater aktiv_icon

15:30 Uhr, 06.06.2009

Hi,

ja du hast Recht, man kann auch einfach jedes Dreieck an sich berechnen und dann die Flächen addieren. Ich weis aber nicht, ob der Threaderöffner in der 9.Klasse schon Sinus, Cosinus und Tangens durchgenommen hat.

Könnte man denn mit dem Pythagopras an die Höhe kommen?

Gruß Shipwater

m-at-he

15:33 Uhr, 06.06.2009

Hallo,

ich denke, daß Ende der 9. Klasse die trigonometrischen Funktionen bekannt sind!

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23:24 Uhr, 06.06.2009

Hi,

ich bin Ende zehnter Klasse und wir haben das noch nicht gehabt. Kommt bei uns erst nach Körpern.

Gruß Shipwater

anonymous

00:21 Uhr, 07.06.2009

ja wir hatten noch nie was mit sinus und so

aber ich hab versucht es zu malen in paint geht aber nich irgendwie

Shipwater aktiv_icon

13:59 Uhr, 07.06.2009

Hi,

eine Skizze wäre aber doch schon ziemlich praktisch. Denn wenn

z . B

. die Grundkantenlänge und die Höhe der Dreiecke gegeben ist, dann kann man den Flächeninhalt eines Dreiecks ja ganz einfach mit

\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

ausrechnen. Oder vielleicht sind andere Längen bekannt mit denen man

z . B

. durch den Pythagoras an die Höhe kommt oder ähnlich. Ansonsten musst du halt die Fünfecksformel benutzen.

Gruß Shipwater

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