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Volumen einer durchbohrten Kugel

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

couman990 aktiv_icon

15:36 Uhr, 21.06.2019

Hallo zusammen,

Aus einer Kugel mit einem Radius

2 a (a > 0)

wird entlang eines Durchmessers ein Loch vom Radius a herausgebohrt. Es soll nun das Volumen der durchlöcherten Kugel bestimmt werden. Es sollen generell Zylinderkoordinaten verwendet werden, um den Bohrkern zu parametrisieren.

Wie geht man hierbei vor?

Man bräuchte ja erstmal eine Funktion bzw. eine Menge in der Form

B = {(x, y, z) E [

", "

]

^3:

x^{2} + y^{2} \leq z^{2}},

oder ?

Danke im Voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

17:29 Uhr, 21.06.2019

Die Ausgangskugel ist

K = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq (2 a)^{2}}

Wenn wir annehmen, dass parallel zur

z

-Achse gebohrt wird, dann werden alle Punkte aus

K

entfernt mit

x^{2} + y^{2} \leq a^{2}

, es bleibt übrig Menge

M = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq (2 a)^{2} \land x^{2} + y^{2} > a^{2}}

.

In Zylinderkoordinatendarstellung ersetzt man

x, y

durch

x = r \cos (φ), y = r \sin (φ)

und

z

bleibt. Dann mal frisch ans Werk!

couman990 aktiv_icon

23:50 Uhr, 21.06.2019

Ok, danke, soweit habe ich es schonmal verstanden !

Was mir allerdings noch Schwierigkeiten bereitet ist, wie ich jetzt die integrationsgrenzen festlege, bzw. welche Funktion ich überhaupt integrieren muss?

Für die Integrationsgrenze hinsichtlich

r

gilt:

0 < r < 2 a

?

Aber was sind die grenzen für

z

und den winkel

φ

,bzw stimmen die Grenzen für

r

ledum aktiv_icon

16:28 Uhr, 22.06.2019

Hallo
mach dir ein Querschnittsbild, daraus kannst du außer den grenze für

φ,

die von 0 bis

2 π

gehen sowohl die Grenzen für

r (θ)

als auch für

θ

ablesen, dazu brauchst du natürlich wo der Zylinder die Kugel schneidet.
deine Grenzen für

r

sind falsch.

r

wird vom Kugelmittelpunkt ausgerechnet, du musst nur über die halbe Kugel integrieren und dann verdoppeln.
Gruß ledum

couman990 aktiv_icon

16:36 Uhr, 22.06.2019

ok, was wären denn dann die grenzen für r? Und für was brauche ich den neu eingeführten winkel ? der radius der kugel ist doch

2 a,

oder ? Wieso ist das dann nicht mein radius für die integration ? oder ist der radius

= a

(weil der zylinder ja ausgeschnitten wird). Wie erhalte ich die Grenzen für

z

? Woher weiß ich, dass die grenzen von

φ

von 0 bis

2 π

gehen (ist das immer so, bei Polarkoordinaten ist das ja in der regel so ?)?

ledum aktiv_icon

17:43 Uhr, 22.06.2019

Hallo
sorry für den zweiten Winkel ( den gibts nur bei Kugelkoordinaten.
hast du die Zeichnung gemacht, und mal ein paar Radien in Abhängigkeit von

z

eingezeichnet, bei mir gibt es keinen einzigen Radius mit Länge a und einen mit Länge

0 : z, B z = 0 r

ausserhalb des Lochs geht von a bis

2 a

jetzt find

r

in Abhängigkeit von

h = z

und befolge Ratschläge wie etwa Zeichnung machen, dann kannst du deine fragen eher selbst beantworten.
Gruß ledum

couman990 aktiv_icon

17:53 Uhr, 22.06.2019

ok, ja ich habe Zeichnungen gemacht, allerdings werde ich nicht ganz schlau daraus:

ich benötige ja etwas in der Form:

\int_{r = a}^{2 a} \int_{φ = 0} \int_{z =} f \cdot r d r d φ d z

Die ersten grenzen müssten jetzt aber stimmen oder ? nur ich komme auch nicht mit zeichnung auf den Winkel bzw. die

z

koordinate ( die integrationsgrenzen).

HAL9000

21:33 Uhr, 22.06.2019

Einfach mal einsetzen:

r^{2} = x^{2} + y^{2}

in die Bedingungen

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq (2 a)^{2}

und

x^{2} + y^{2} > a^{2}

eingesetzt ergibt

r^{2} + z^{2} \leq (2 a)^{2}

und

r^{2} > a^{2}

.

Letzteres ergibt

r > a

, während ersteres sowohl die Information

r \leq 2 a

als auch bei festem

r

dann

z^{2} \leq (2 a)^{2} - r^{2}

liefert, d.h.

∣ z ∣ \leq \sqrt{(2 a)^{2} - r^{2}}

.

Der Winkel

φ

spielt bei dem Körper hier keine Rolle, da er rotationssymmetrisch ist - es wird also stets über den vollen Winkelbereich integriert. Es ist somit

V (M) = \int_{r = a}^{2 a} \int_{φ = - π}^{π} \int_{z = - \sqrt{(2 a)^{2} - r^{2}}}^{\sqrt{(2 a)^{2} - r^{2}}} 1 d z d φ d r = 4 π \int_{a}^{2 a} \sqrt{(2 a)^{2} - r^{2}} d r

couman990 aktiv_icon

00:43 Uhr, 23.06.2019

Ok danke ! Müsste nicht vor

d z

noch ein

r

stehen ?

HAL9000

10:19 Uhr, 23.06.2019

Gut aufgepasst, hatte ich vergessen hinzuschreiben: Es ist natürlich

d x d y = r d φ d r

und damit letztlich

V (M) = 4 π \int_{a}^{2 a} r \sqrt{(2 a)^{2} - r^{2}} d r

couman990 aktiv_icon

12:38 Uhr, 23.06.2019

ok danke !

Das Ergebnis müsste dann

V = 4 \sqrt{3} π a^{3}

sein ?

Was soll das

M

aus

V (M)

symbolisieren ?

HAL9000

17:46 Uhr, 23.06.2019

Da steckt nichts tiefgründiges hinter dieser Symbolwahl

M

, ist einfach irgendeine Menge. Du kannst sie meinetwegen auch

A, Q, U, κ, ℵ

nennen, ist mir wurst.

couman990 aktiv_icon

19:14 Uhr, 24.06.2019

Alles klar danke !

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