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Volumen (eines Kegels)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Carl-Fried-Graus aktiv_icon

13:35 Uhr, 05.11.2019

ich habe Schwierigkeiten die folgende Aufgabe zu lösen:

Gegeben sei:

K = {(x, y, z) : 0 \leq z \leq 1, x^{2} + y^{2} \leq (1 - z)^{2}}

Nun soll man das Volumen berechnen, jedoch ist mir nicht ersichtlich, wie ich auf die Integrationsgrenzen komme (außer von z mit 0 und 1).

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

ermanus aktiv_icon

14:32 Uhr, 05.11.2019

Hallo,
arbeitet ihr mit Lebesgue-Integralen und dem Satz von Fubini?
Gruß ermanus

Carl-Fried-Graus aktiv_icon

14:34 Uhr, 05.11.2019

Hallo,

wir arbeiten mit Fubini

ermanus aktiv_icon

14:57 Uhr, 05.11.2019

Ich weiß nicht, was ihr alles machen dürft.
Aber bei mir liefert "mein Fubini", dass

V = \int_{0}^{1} F (z) d z

ist, wobei

F (z) = \int χ_{K (z)} (x, y) d μ (x, y)

ist.
Hier ist

χ_{K (z)}

die Indikatorfunktion der Kreisscheibe

K (z) = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq (1 - z)^{2}}

.
Diese hat bekanntermaßen die Fläche

F (z) = π \cdot (1 - z)^{2}

.
Damit ergibt sich

V = π \int_{0}^{1} (1 - 2 z + z^{2}) d z = . . .

Gruß ermanus

Carl-Fried-Graus aktiv_icon

15:14 Uhr, 05.11.2019

Daran hatte ich auch gedacht, als ich versucht habe mein "Problem" mit den Integrationsgrenzen zu umgehen und kam auf

V = \frac{1}{3} π

Jedoch dachte ich, dass wir ein Dreifachintegral anwenden sollten (ich denke mal jeweils abhängig von

z

für

y

und von

y

und

z

für

x)

.

Vielen Dank aber auch für deinen Lösungsvorschlag.

Gruß

ermanus aktiv_icon

15:17 Uhr, 05.11.2019

Die Sache mit dem Dreifach-Integral hätte ich als Bestrafung
empfunden. Wenn aber noch jemand anders Lust hat,
jenen kompliziert aufgeblasenen Krams zu berechnen,
soll er es gerne machen ;-)

Carl-Fried-Graus aktiv_icon

01:24 Uhr, 06.11.2019

Sehe ich genauso, allerdings wird in der folgenden Teilaufgabe verlangt das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse zu bestimmen mit:

\int_{}^{} \int_{}^{} \int_{K}^{} (x^{2} + y^{2})

dV

Hoffentlich kann mir deshalb jemand bezüglich der Integrationsgrenzen helfen, aber danke dir für deine Antworten und Lösungen :-)

ledum aktiv_icon

01:40 Uhr, 06.11.2019

Hallo
auf jeden Fall in Zylinderkoordinaten rechnen,

r

von 0 bis

1 - z^{2}, z

von 0bis 1 und

φ

von 0 bis

2 π

dasselbe für das Trägheitsmoment.
Gruß ledum

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