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Volumen mittels Satz von Fubini

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Integration

Maßtheorie

Tags: Integration, Maßtheorie

LucaW aktiv_icon

18:23 Uhr, 27.11.2012

Hi!

Ich bin gerade leider etwas überfragt, deshalb bräuchte ich eure Hilfe...

geg.:

f (z) = (1 - z + z ²) \sqrt{z + 1}

T := {(x, y, z) \in ℝ^{3} : z \in (- 1, 2), x^{2} + y^{2} < (f (z))^{2}}

ges.: Das Volumen des Körpers T mit Hilfe des Satzes von Fubini...

Meine Idee soweit (27, da

max_{z \in (- 1, 2)} (f (z)) = 27

\int_{- 1}^{2} \int_{0}^{\sqrt{27}} \int_{0}^{\sqrt{27 - y^{2}}} (x^{2} + y^{2}) d x d y d z

Jedoch führt der Ansatz dabei etwas ins Leere....bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?

Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

DerDepp aktiv_icon

18:58 Uhr, 27.11.2012

Hossa ;-)

Das Volumen V des durch die Punktmenge T beschriebenen Körpers ist:

V = \int_{T} d x d y d z

Für z ist das Intervall direkt ablesbar:

- 1 < z < 2

Für x und y bilden auf der Höhe z eine Kreisfläche mit dem Radius

∣ f (z) ∣

x^{2} + y^{2} \leq R^{2} = [f (z)]^{2} = (1 - z + z^{2})^{2} (z + 1)

Daher bietet es sich hier an, mit Zylinderkoordinaten zu arbeiten:

(x, y, z) \to (r \cos ϕ, r \sin ϕ, z); d x d y = r d r d ϕ; r \in [0; R]; ϕ \in [0; 2 π]

Also alles zusammengebaut:

V = \int_{- 1}^{2} d z \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{R} r d r

Ok?

LucaW aktiv_icon

19:34 Uhr, 27.11.2012

Das ist das Problem, wenn man mit sowas nie praktisch arbeiten musste, sondern das dann hinweislos in der Aufgabe vorgesetzt bekommt :-D)

Ist dann die Lösung

3 R^{2} π

? (Wobei R natürlich noch rücksubstituiert wird ;-) )

Ich frage nur noch zur Sicherheit, weil wir vorher noch nicht damit gerechnet haben....aber da es ja ein Zylinder ist würde das deutlich mehr Sinn ergeben :-D)

DerDepp aktiv_icon

01:45 Uhr, 28.11.2012

Genau!

[2 - (- 1)] \cdot [2 π - 0] \cdot [R^{2} / 2 - 0] = 3 \cdot 2 π \cdot \frac{R^{2}}{2} = 3 π R^{2}

Schmuckschildi aktiv_icon

15:56 Uhr, 29.11.2012

Wie macht man das mit der Rücksubstitution genau? Setzt man für

R

einfach

f (z)

ein und das für

- 1 < z < 2

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