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Volumenberechnung durch Doppelintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Doppelintegral, Integration, Zylinderkoordinaten

Christo1218 aktiv_icon

00:35 Uhr, 16.09.2010

Hallo erst mal,

hab unten beigefügt eine alte Klausuraufgabe dargestellt, bei deren Lösung ich auf einige Probleme treffe. Es geht um die Teilaufgabe

a)

das schraffierte Volumen soll berechnet werden.

Mein Professor meinte man kann die Aufgabe auf "einfachstem" Wege mit einem Doppelintegral lösen. Dazu wird zuerst die Kugel definiert mit

r^{2} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}},

diese Funktion wird nach

z

aufgelöst um nur noch 2 Unabhängige zu bekommen. Man erhält

z (x, y) = \sqrt{r^{2} - x^{2} + y^{2}}

. Dann werden die Zylinderkoordinaten eingesetzt. Man erhält

z (x, y) = \sqrt{r^{2} - r^{2} \cdot {cos (φ)}^{2} + r^{2} \cdot {sin (φ)}^{2}}

. Das wiederrum kann ich in ein Doppelintegral der Form

\int \int

Z(x,y)db einsetzen. Mein prof meine nun ich kann für db auch

r

d φ

schreiben. Hier verstehe ich allerdings das ds nicht oder weiß nicht was ich dafür einsetzten soll.
Damit ich eine sichere Lösung habe bin ich erst einmal davon ausgegangen, dass mein Zylinder die komplette Halbkugel einnimmt, somit das Ergebnis der Berechnung

\frac{2}{3} π r^{3}

sein muss.
Hab fürs erste ds=dr angenommen wegen Zylinderkoordniaten. Und als Grenze für

φ 0

bis

2 π

. Allerdings komme ich dann auf das Ergebnis Null.
Also setze ich irgendetwas falsch ein.
Weiß einer einen Lösungsansatz oder was ich für ds einsetzen muss.

Vielen Dank für Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:27 Uhr, 16.09.2010

Hallo,

es muss wohl dr statt ds heißen. Du hast aber gleich zu Anfang einen Rechenfehler gemacht:

z := \sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}}

Gruß pwm

Mauthagoras aktiv_icon

08:35 Uhr, 16.09.2010

Edddi aktiv_icon

08:44 Uhr, 16.09.2010

Der einfachste Weg ist die Nutzung des Kugelringvolumens

V_{R} .

Der Kugelring bleibt als Körper über, wenn eine Zylinder-Fläche zentral aus der Kugel das Volumen rausschneidet. Das fantastische am Kugelring ist die Tatsache, das das Volumen nicht von der Größe der Kugel, sondern nur von der Höhe des Kugelrings abhängig ist. (Diese ist natürlich kleiner als der Durchmesser)
Das Volumen berechnet sich dann zu

V_{R} = (\frac{π}{6}) \cdot H^{3}

für

H = d

ergibt sich dann das ganze Kugelvolumen zu

V_{K} = \frac{π}{6} \cdot d^{3}

Wie gesagt, ein Kugelring der Höhe 1cm hat das Volumen von

\frac{π}{6}

cm^3, egal ob aus einem Apfel, oder einen Planeten geschnitten.

Dies auf dein Prob' angewendet (du bruchst ja nur die Hälfte - da Halbkugel):

V = \frac{(\frac{π}{6}) \cdot {(2 \cdot h)}^{3}}{2} = (\frac{π}{6}) \cdot 4 \cdot h^{3} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot h^{3}

Das

h

rechnest du mit dem Pythagoras aus:

ρ^{2} + h^{2} = R^{2}

h = \sqrt{R^{2} - q^{2}}

Und damit:

V = \frac{2}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{R^{2} - q^{2}})}^{3}

Da wir aber nicht den (halben) Kugelring, sondern den Restkörper (ich nenn' ihn mal Kugelkappenzylinder) ziehe ich dieses Volumen von der Halbkugel ab.

V = \frac{V_{K}}{2} - V = \frac{2}{3} \cdot π \cdot R^{3} - \frac{2}{3} \cdot π \cdot h^{3} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot (R^{3} - h^{3}) = \frac{2}{3} \cdot π \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - q^{2}})}^{3})

...falls ihr aber integrieren solltet, so würde ich die Flächen über die Höhe integrieren.

Dann wäre für den Bereich 0 bis

h :

V_{1} = π \cdot ρ^{2} \cdot h

und

V_{2} = \int_{h}^{R} π \cdot f^{2} (x) \cdot d x = π \cdot \int_{h}^{R} (R^{2} - x^{2}) \cdot d x

= π \cdot \int_{h}^{R} (R^{2}) \cdot d x - π \cdot \int_{h}^{R} (x^{2}) \cdot d x

= π \cdot R^{2} \cdot {[x]}_{h}^{R} - π \cdot {[\frac{x^{3}}{3}]}_{h}^{R}

= π \cdot R^{3} - π \cdot R^{2} \cdot h - π \cdot [\frac{R^{3}}{3}] + π \cdot [\frac{h^{3}}{3}]

Somit

V_{G} = V_{1} + V_{2}

V_{G} = π \cdot ρ^{2} \cdot h + π \cdot R^{3} - π \cdot R^{2} \cdot h - π \cdot [\frac{R^{3}}{3}] + π \cdot [\frac{h^{3}}{3}]

mit

ρ^{2} = R^{2} - h^{2}

ergibt sich:

V_{G} = π \cdot R^{2} \cdot h - π \cdot h^{3} + π \cdot R^{3} - π \cdot R^{2} \cdot h - π \cdot [\frac{R^{3}}{3}] + π \cdot [\frac{h^{3}}{3}]

V_{G} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot R^{3} - \frac{2}{3} \cdot π \cdot h^{3} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot (R^{3} - h^{3}) = \frac{2}{3} \cdot π \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - q^{2}})}^{3})

;-)

Yokozuna aktiv_icon

12:35 Uhr, 16.09.2010

Hallo,

also wenn es unbedingt das Doppelintegral sein muß, hier kommt es:

$R^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} \Rightarrow z = \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}} = \sqrt{R^{2} - r^{2} \cdot \cos^{2} (φ) - r^{2} \cdot \sin^{2} (φ)} =$ $= \sqrt{R^{2} - r^{2} \cdot (\cos^{2} (φ) + \sin^{2} (φ))} = \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ wegen $\cos^{2} (φ) + \sin^{2} (φ) = 1$ .

Das Flächenelement lautet in Polarkoordinaten $r \cdot d r \cdot d φ$ . Damit bekommen wir das Doppelintegral:

$\int_{0}^{2 π} (\int_{0}^{σ} \sqrt{R^{2} - r^{2}} \cdot r \cdot d r) d φ$

Berechnen wir erst das innere Integral. Wir substituieren:

$u = R^{2} - r^{2} \Rightarrow d u = - 2 r \cdot d r \Rightarrow r \cdot d r = - \frac{1}{2} \cdot d u \Rightarrow$

$\int \sqrt{R^{2} - r^{2}} \cdot r \cdot d r = \int \sqrt{u} \cdot (- \frac{1}{2}) d u = - \frac{1}{2} \cdot \int u^{\frac{1}{2}} d u = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} = - \frac{1}{3} {(\sqrt{R^{2} - r^{2}})}^{3} \Rightarrow$

$\int_{0}^{σ} \sqrt{R^{2} - r^{2}} \cdot r \cdot d r = [- \frac{1}{3} {(\sqrt{R^{2} - r^{2}})}^{3}] \begin{matrix} σ \\ 0 \end{matrix} = - \frac{1}{3} {(\sqrt{R^{2} - σ^{2}})}^{3} + \frac{1}{3} {(\sqrt{R^{2}})}^{3} =$

$= \frac{1}{3} \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - σ^{2}})}^{3})$

Nun noch da äußere Integral:

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{3} \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - σ^{2}})}^{3}) \cdot d φ = \frac{1}{3} \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - σ^{2}})}^{3}) \cdot \int_{0}^{2 π} d φ =$ $= [\frac{1}{3} \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - σ^{2}})}^{3}) \cdot φ] \begin{matrix} 2 π \\ 0 \end{matrix} = \frac{1}{3} \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - σ^{2}})}^{3}) \cdot (2 π - 0) =$ $= \frac{2}{3} \cdot π \cdot (R^{3} - {(\sqrt{R^{2} - σ^{2}})}^{3})$

Viele Grüße

Yokozuna

Christo1218 aktiv_icon

12:59 Uhr, 17.09.2010

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