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Integration

Tags: Integration

rud77 aktiv_icon

16:32 Uhr, 21.06.2024

Wie groß ist das Volumen des körpers der vom hyperbolischen Paraboloid z=xy und dem Dreieck mit den Ecken

(0,0,0) (1,0,0)

und

(0,1,0)

begrenzt wird.

Kann mir jemand helfen, wie muss ich überlegen damit ich die grenzen bestimmen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

18:20 Uhr, 21.06.2024

Du solltest erkennen, dass das erwähnte Dreieck durch die y-Achse, x-Achse

(y = 0)

sowie durch die Gerade

y = 1 - x

begrenzt wird.
Für jedes

x

(läuft von 0 bis

1)

darf das

y

von 0 bis

1 - x

laufen.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} x \cdot y d y d x = \frac{1}{24}

rud77 aktiv_icon

12:13 Uhr, 22.06.2024

Vielen Dank für deine Antwort. Kannst du mir helfen, wie ich das erkennen kann? also wie komme ich auf die idee dass das so wie du mir geschrieben hast begrenzt ist.

Respon

13:10 Uhr, 22.06.2024

Da kann eine Skizze hilfreich sein.
Die Gerade durch die Punkte

B

und

C

hat die Gleichung

y = - x + 1

\Rightarrow

x

durchläuft die Werte von 0 bis 1.

y

durchläuft

(

in Abhängigkeit von

x) 0

bis

- x + 1

\Rightarrow

\int_{0}^{1} \int_{0}^{- x + 1} x \cdot y d y d x

inneres Integral

\int_{0}^{- x + 1} d y = \frac{x \cdot y^{2}}{2} |_{0}^{- x + 1} = \frac{1}{2} \cdot (x - 2 \cdot x^{2} + x^{3})

äußeres Integral

\int_{0}^{1} \frac{1}{2} \cdot (x - 2 \cdot x^{2} + x^{3}) d x = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4}) |_{0}^{1} = \frac{1}{24}

Roman-22

13:17 Uhr, 22.06.2024

Zeichne dir den Bereich in der xy-Ebene auf, über den integriert werden soll.
Die Gleichung

y = 1 - x

der schrägen Begrenzung sollte klar sein.
Jetzt geht es darum, den orange markierten Bereich in irgendeiner Form systematisch abzulaufen, vorzugsweise nur in

x -

und y-Richtung.
Da bietet sich zB an,

x

von 0 bis 1 laufen zu lassen (rot).
Für jeden gewählten x-Wert (rot) darf nun der y-Wert (grün) von 0 bis

1 - x

laufen (siehe Zeichnung).
Damit hat man nun die gesamte orange Fläche abgegrast und ist fertig. Dadurch ergibt sich dann eben

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} f (x, y) d y d x

Natürlich könnte man auch beginnen mit

y

von 0 zu 1 zu laufen. Wegen

x = 1 - y

darf dann

x

eben nur von 0 bis

1 - y

laufen.
Das führt dann auf

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - y} f (x, y) d x d y

und sollte letztlich das gleiche Ergebnis liefern.

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