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Volumenintegral eines Körpers berechnen

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Integration

Tags: eben, Funktion, Integration, Körper, volum, Volumenintegral

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niklas1997

niklas1997 aktiv_icon

13:13 Uhr, 09.06.2018

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Hallo, bei der folgenden Aufgabe stehe ich leider ganz auf dem Schlauch:

Der Körper

M

sei durch die Koordinatenachsen und die Ebene

E : x + y + z = 1

begrenzt. Berechne das Volumenintegral über die Funktion

f (x, y, z) = 2 x + y + z

auf diesem Körper.

Müsste ich koordinatenweise integrieren oder wie läuft so etwas ab?
Vielen Dank für die Tipps!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Raummessung

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Antwort

DerDepp

DerDepp aktiv_icon

14:38 Uhr, 09.06.2018

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Hossa ;-)

Die Schwierigkeit ist hier, die Integrationsgrenzen aus der vorgegebenen Situation zu ermitteln. Das Volumen ist durch die Ebene

E : x + y + z = 1

und durch die Koordinatenachsen beschränkt. Das heißt

0 \leq x, y, z \leq 1

. Wenn du nun zuerst über

d x

integrierst, werden

y

und

z

auf einem bestimmten Wert festgehalten. Um dabei die Ebenengleichung zu erfüllen, muss

0 \leq x \leq 1 - y - z

gelten. Anschließend integriert du über

d y

, wobei der

z

-Wert festgehalten wird, dabei muss

y \in [0; 1 - z]

gelten. Schließlich integrierst du über

d z

und hast für

z

den maximalen Definitionsbereich

z \in [0; 1]

zur Verfügung. Langer Rede kurzer Sinn, das gesuchte Integral sieht so aus:

V = \int_{0}^{1} d z \int_{0}^{1 - z} d y \int_{0}^{1 - y - z} d x (2 x + y + z)

Jetzt kannst du der Reihe nach über

d x, d y, d z

integrieren.

Antwort

rundblick

rundblick aktiv_icon

15:42 Uhr, 09.06.2018

Antworten

.
"Das

\to

Volumen ist durch die Ebene

E : x + y + z = 1

und durch die Koordinatenachsen beschränkt."

echt?
zur Erinnerung: die Koordinatenachsen sind doch

\to

Geraden - oder ?
.

Frage beantwortet

niklas1997

niklas1997 aktiv_icon

14:13 Uhr, 10.06.2018

Antworten

Hallo DerDepp,

vielen Dank! An dem Festhalten einer Koordinate hatte ich mich immer aufgehängt ;-)

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