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Von Dichtefunktion zur Verteilungsfunktion

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Dichtefunktion, Erwartungswert, Varianz, Verteilungsfunktion

Konarag aktiv_icon

21:59 Uhr, 05.09.2016

Hallo zusammen, ich bin gerade mit einer Aufgabe beschäftigt und komme hier leider überhaupt nicht weiter.
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

f (x) = {1 - x^{2}

für

- 1 \leq x \leq 0

f (x) = {- \frac{3}{2} x + 1

für

0 < x \leq \frac{2}{3}

f (x) = {0

sonst
Da ich nicht weiß, wie man hier eine große geschwungene Klammer vor 3 Zeilen macht, hab ich das mal vor jede Zeile geschrieben.
Hiervon soll zum einen die Verteilungsfunktion erstellen, zum anderen soll ich den Erwartungswert und die Varianz berechnen.
Ich hab die Aufgabe auch noch mal als Bild angefügt, in der Hoffnung man erkennt was.

Mit der Verteilungfunktion bin ich leider gar nicht zurecht gekommen, weswegen ich hoffe, dass mir jemand einmal die Lösung inklusive Erklärungen aufzeigen kann.

Wenn ich die Unterlagen richtig verstanden habe reicht mir für den Erwartungswert und die Varianz ja die Dichtefunktion.

Den Erwartungswert hab ich wie folgt berechnet:

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f (x) d x

= \int_{- 1}^{0} x \cdot (1 - x^{2}) + \int_{0}^{\frac{2}{3}} x \cdot (- \frac{3}{2} x + 1)

= \int_{- 1}^{0} x - x^{3} + \int_{0}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} x^{2} + x

Wenn ich das ganze durchrechne bleibt am Ende noch

E (X) = \frac{5}{108}

übrig.

Bei der Varianz habe ich folgendes gerechnet:

V (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \cdot f (x) d x - E {(X)}^{2}

= \int_{- 1}^{0} x^{2} \cdot (1 - x^{2}) d x + \int_{0}^{\frac{2}{3}} x^{2} \cdot (- \frac{3}{2} x + 1) d x - E {(X)}^{2}

= \int_{- 1}^{0} x^{2} - x^{4} + \int_{0}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} x^{3} + x^{2} - {(\frac{5}{108})}^{2}

Wenn ich das wieder durchrechne komme ich bei

V (X) = 0,556

aus.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte und sagt, was falsch ist und wie ich es richtig machen kann.

Gruß,
Kona

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Roman-22

23:52 Uhr, 05.09.2016

Für die Verteilungsfunktion musst du doch nur die Dichtefunktion integrieren und die Integrationskonstante entsprechend anpassen.

Und für den Erwartungswert erhalte ich den negativen Wert

- \frac{19}{108}

R

Konarag aktiv_icon

19:01 Uhr, 06.09.2016

Ich hab das ganze noch mal nachgerechnet. Ich hatte einen Vorzeichenfehler, habe jetzt auch

E (X) = - \frac{19}{108}

raus.
Das ergibt dann eine Varianz von

V (X) = 0,127

Ok, also die Formeln integrieren. Die Integrationskonstance kann ich doch weglassen oder?

Ich hätte dann folgendes raus:

F (X) = {0

für

x \leq - 1

F (X) = {x - \frac{1}{3} x^{3}

für

- 1 \leq x \leq 0

F (X) = {- \frac{3}{4} x^{2} + x

für

0 \leq x \leq \frac{2}{3}

F (X) = {1

für

\frac{2}{3} \leq x

Wäre das dann soweit korrekt?

Roman-22

22:53 Uhr, 06.09.2016

>

Die Integrationskonstance kann ich doch weglassen oder?
Nein! Hab ja geschrieben, dass du die richtig anpassen musst.

Wie groß muss

F (- 1)

sein, wenn du die erste der beiden Funktionen auswertest?
Wie groß muss

F (0)

sein, wenn du sowohl die erste, als auch die zweite Funktion auswertest?

Zeichne dir die gesamte Funktion im Bereich

- 1

bis

\frac{2}{3}

auf. Sie muss stetig und monoton von 0 bis 1 ansteigen.
Macht das die von dir vorgeschlagene Funktion, oder hast du da Sprünge drin?

R

Konarag aktiv_icon

23:46 Uhr, 06.09.2016

Ich steh gerade total auf dem Schlauch und habe um ehrlich zu sein keine Ahnung, was ich genau machen soll...

Roman-22

00:53 Uhr, 07.09.2016

. .

. na, zB deine Funktion zeichnen, um dir Klarheit darüber zu verschaffen, dass damit etwas nicht richtig sein kann.

Konarag aktiv_icon

07:28 Uhr, 07.09.2016

Ok, gezeichnet habe ich den Graphen. Ich habe ihn als Bild angehängt.
Ich habe da 2 Sprünge drin.
Das heißt, dass sie Vorraussetzungen ja schon mal nicht erfüllt sind.
Was wäre dann jetzt mein nächster Schritt? Wäre klasse, wenn du mir das mal zeigen könntest, dann kann ich das bei den nächsten Aufgaben üben.

ledum aktiv_icon

19:48 Uhr, 07.09.2016

Hallo
du hast zwar nicht

F (x)

gezeichnet denn das isind keine Geraden, aber die Unstetigkeiten sind an der richtigen Stelle, die kann man nur korrigieren, indem man die richtige Integrationskonstante wählt, so dass

F (- 1) = 0 F_{1} (0) = F_{2} (0)

und

F (\frac{2}{3}) = 1

ist.
Gruß ledum

Konarag aktiv_icon

20:23 Uhr, 07.09.2016

Ahh, ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen...

Wenn ich also die erste Stammfunktion nehme, die da wäre

F (X) = x - \frac{1}{3} x^{2}

muss ich prüfen, welche Integrationskonstante ich addieren/substrahieren muss um bei einsetzen von

x = - 1

den Wert 0 raus bekomme.

Das wäre dann

F (- 1) = 0

mit

F (- 1) = - 1 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}

= - 1 + \frac{1}{3}

= - \frac{2}{3}

Ich müsste quasi bei der Funktion

F (X)

noch

+ \frac{2}{3}

anhängen, so dass da

F (X) = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3}

steht, denn dann hätte ich mit

F (- 1) = 0

raus.

Wenn ich das dann weiterführe und prüfe, welche Konstante ich bei

F (X) = - \frac{3}{4} x^{2} + x

addieren substrahieren muss um auf 1 zu kommen wenn ich

\frac{2}{3}

einsetze würde da rauskommen

F (X) = - \frac{3}{4} x^{2} + x + \frac{2}{3}

Wenn ich dann teste ob

F 1 (0)

und

F 2 (0)

gleich sind setze ich in beide Formeln die 0 für

x

ein und erhalte beide Male

\frac{2}{3}

Somit müsste die korrekte Verteilungfunktion wie folgt lauten:

F (X) = {0

für

x \leq - 1

F (X) = {x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3}

für

- 1 \leq x \leq 0

F (X) = {- \frac{3}{4} x^{2} + x + \frac{2}{3}

für

0 \leq x \leq \frac{2}{3}

F (X) = {1

für

\frac{2}{3} \leq x

Stimmt das?

Roman-22

21:24 Uhr, 08.09.2016

>

Stimmt das?
Ja genau. Beide Intergrationskonstanten müssen hier

\frac{2}{3}

sein, damit sich eine stetige Funktion ergibt.

Konarag aktiv_icon

21:55 Uhr, 08.09.2016

Ok, super :-)

Danke euch für eure Hilfe

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