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Von Polarform in Euler'sche Formel umwandeln

Schüler

Tags: Euler`sche Formel, Komplexe Zahlen, Polarform, Vektor

derLogFrager aktiv_icon

10:53 Uhr, 28.05.2017

Hi,

Die Aufgabe besteht darin

z = (8,1;

262,8°) in allen Formen umzuwandeln.

In die Komponentenform habe ich es geschafft:
z=a+bi

a : r \cdot cos (φ) = 8,1 \cdot cos (262,8) = - 1,02

b : r \cdot sin (φ) = 8,1 \cdot sin (262,8) = - 8,04

Ergebnis:

z = - 1,02 + (- 8,04) i

(laut Lösungsbuch auch richtig)

Auch in die trigonometrische Form:

z = 8,1 \cdot (cos (262,8) + i \cdot sin (262,8))

(laut Lösungsbuch auch richtig)

In die Euler'sche Form habe ich es dann nicht mehr geschafft:

z = r \cdot e^{i \cdot φ}

Da müsste es doch eigentlich das Ergebnis so lauten:

z = 8,1 \cdot e^{i \cdot 262,8}

Doch im Lösungsbuch steht das das Ergebnis so lautet:

z = 8,1 \cdot e^{i \cdot 4,586 ...}

Meine Frage: Wie kommt man auf

4,586

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Respon

10:56 Uhr, 28.05.2017

Bogenmaß !

( Die anderen Lösungen sind zwar richtig gemeint, aber nicht richtig hingeschrieben. )

derLogFrager aktiv_icon

11:03 Uhr, 28.05.2017

Was meinst du mit Bogenmaß?
Im ganzen Kapitel in meine Buch steht nichts über Bogenmaß drinnen.

Respon

11:06 Uhr, 28.05.2017

In der Exponentialforml wird statt "Grad" das "Bogenmaß" verwendet.
Um Missverständnisse zu vermeiden, musst du in den vorangegangenen Lösungen das Gradzeichen hinzufügen.

derLogFrager aktiv_icon

11:13 Uhr, 28.05.2017

Also ich weiß zwar noch immer nicht was du meinst, aber ich habe den Verdacht dass du mir sagen willst ich soll den TR auch RAD umstellen. Das habe ich auch schon gemacht und wollte sogar mit meinem Ergebnis in Komponentenform die Euler'sche Formel ausrechnen mit:

φ = (\frac{8,04}{1,02}) + 180 =

181,4°
Das ist leider auch ein falsches Ergebnis.
PS: Ich habe bei meiner obigen Rechnung das minus weggelassen weil

- \frac{1}{- 1}

wieder 1 ergibt.

Respon

11:20 Uhr, 28.05.2017

Es gibt zwei Möglichkeit für Winkel: Gradmaß und Bogenmaß. Wenn du mit dem TR arbeitest, musst du natürlich umstellen ( und wissen was du machst ).

Die Schreibweise "

cos (262,8)

" bedeutet in der Mathematik die Darstellung mit Bogenmaß, du wolltest aber das Gradmaß.

Roman-22

11:57 Uhr, 28.05.2017

>

φ=(8,041,02)+180= 181,4°
Da fehlt wohl der arctan vor der Klammer und wenn du im Bogenmaß rechnest, dann darfst du natürlich nicht 180° addieren, wenn der Realteil negativ ist, sondern dessen Pendent im Bogenmaß, also

π

.
Damit kommst du dann auf das richtige Ergebnis. Allerdings ist das so wie sich mit der rechten Hand über den Kopf am linken Ohr zu kratzen.
Du hast doch schon Betrag

r

und Phase

φ

der komplexen Zahl

z

in der Angabe gegeben und genau diesen Größen benötigst du für die Exponentialdarstellung. Das einzige Manko ist, dass

φ

im Gradmaß gegeben ist und wir den Winkel im Bogenmaß benötigen.
Auch dafür hat dein TR wohl eine Taste bereit, aber es ist sicher ebenso schnell und einfach simpel

φ = {262,8}^{\circ} = {262,8}^{\circ} \cdot \frac{π}{180^{\circ}}

zu rechnen. Bei dieser Rechnung ist es egal ob dein TR auf RAD oder DEG eingestellt ist und das Gradzeichen musst/kannst du vermutlich nicht mit eintippen, aber hinschreiben musst du es trotzdem.

Du musst die angewöhnen, das Grad-Zeichen zu schreiben, wenn du einen Winkel im Gradmaß meinst, denn sonst ist es schlicht falsch (nach Konvention bedeutet die Zahl sonst nämlich einen Winkel im Bogenmaß).
Außerdem solltest du dich ein wenig schlauer machen, was die Messung von Winkel im Bogenmaß

(\in

RADiant) anlangt, denn sonst wird es dir immer ein Mysterium bleiben, wann du deinen TR auf RAD stellen sollst und wann nicht und auch nie genau wissen, ob du jetzt 180° oder doch lieber

π

verwenden sollst.

Nebenbei gesagt ist die Schreibweise

z = 8,1 \cdot e^{i \cdot {262,8}^{\circ}}

nicht gar so schlimm. Aus mathematischer Sicht ist sie zwar falsch, weil das Argument der Exponentialfunktion dimensionslos sein muss (da ist auch die Pseudoeinheit Grad nicht erlaubt), aber im technischen Bereich wirst du seeeehr häufig auf genau diese Schreibweise stoßen, sofern man sich nicht der bequemeren Versor-Schreibweise bedient.

derLogFrager aktiv_icon

11:58 Uhr, 28.05.2017

Schon doch wenn ich cos(262,8°) in RAD eingebe kommt als Ergebnis

0,459

heraus.

Ich will nur konkret wissen wie die auf die

4,586

gekommen sind.

Roman-22

12:04 Uhr, 28.05.2017

>

Ich will nur konkret wissen wie die auf die

4,586

gekommen sind.
Ich hab dir eben oben zwei Möglichkeiten dafür genannt.
Zum einen, wie du mit deiner zu komplizierten Variante zum Ziel kommst und zum anderen, wie man es sinnvollerweise machen sollte.

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