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L^2 Norm einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Norm einer Funktion

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09:18 Uhr, 30.12.2017

Hallo ich habe folgendes Problem:
Die

L^{2}

Norm der Funktion

f (x) = x^{2} - 4 x

soll berechnet werden.
Dabei ist das Skalarprodukt definiert durch:

< f, {g >}_{L^{2}} = \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x

{| | (f) | |}_{L^{2}} =

?

Ich habe dafür das Skalarprodukt

< f, f >

berechnet und daraus die Wurzel gebildet, komme jedoch nicht auf das richtige Ergebnis. Irgendetwas mache ich wohl falsch.
Folgendes habe ich dazu in Wikipedia gefunden (und auf vielen anderen Seiten steht ähnliches):
de.wikipedia.org/wiki/Lp-Raum#Der_Hilbertraum_L2

Ich hoffe ihr wisst weiter.

Meine Vorgangsweise.

{(x^{2} - 4 x)}^{2} = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}

< f, {f >}_{L^{2}} = \int f (x) f (x) d x = \frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + \frac{16 x^{3}}{3}

Nun bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich die Komponenten der

x^{n}

unter die Wurzel setzen soll...
Aufgrund der Lösung, die herauskommen soll und weil bei Vektoren auch die Summe der Quadrate der Komponenten des Skalarprodukts unter der Wurzel steht, bin ich wie folgt vorgegangen:

{| | (f) | |}_{L^{2}} = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 4 + {(\frac{16}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{59559}{225}} = \frac{\sqrt{59559}}{15}

Jedoch soll folgende Lösung herauskommen:

\frac{\sqrt{795}}{15}

In mehreren Beispielen in den Übungen wird nach der

L^{2} -

Norm einer Funktion gefragt und ich komme immer auf das falsche Ergebnis. Anscheinend wende ich die Formel falsch an. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Danke schon im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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09:34 Uhr, 30.12.2017

Du hast richtig integriert, aber falsch Grenzen eingesetzt.

DariaL aktiv_icon

09:54 Uhr, 30.12.2017

Ich habe es auch mit den Grenzen

- 1

und 1 versucht, komme dann aber unter der Wurzel auf eine noch höhere Zahl wenn ich die Komponenten quadriere.

Das Ergebnis wäre dann

{| | (f) | |}_{L^{2}} = \sqrt{\frac{1}{5} - 2 + \frac{16}{3} - (- \frac{1}{5} - 2 - \frac{16}{3})} = \sqrt{\frac{2}{5} + \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{166}{15}}

oder ich quadriere die Komponenten unter der Wurzel:

{| | (f) | |}_{L^{2}} = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} + {(\frac{32}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{25636}}{15}

Also entweder ich habe einen Rechenfehler/Denkfehler oder ich wende die Formel falsch an??

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10:20 Uhr, 30.12.2017

\sqrt{\frac{166}{15}}

ist richtig.

DariaL aktiv_icon

10:26 Uhr, 30.12.2017

Die Lösung ist aber

\frac{\sqrt{795}}{15}

und mit der Vorgangsweise mit der ich auf

\sqrt{\frac{166}{15}}

komme, erhalte ich bei den anderen Beispielen auch falsche Lösungen. Also muss da noch irgendwo ein Fehler sein. Danke für deine Mühe. Vielleicht fällt dir noch ein wie man auf diese Lösung kommt.

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10:29 Uhr, 30.12.2017

"Also muss da noch irgendwo ein Fehler sein."

Vielleicht hat der Dozent (oder wer auch immer die Aufgabe gestellt hat) Fehler gemacht. Oder es ist ein anderes Skalarprodukt gemeint.
Aber wenn es wirklich

< f, g > = \int_{- 1}^{1} f g d x

ist und

f = x^{2} - 4 x

, dann garantiere ich, dass die richtige Antwort

\sqrt{166 / 15}

ist. Das kann man auch online mit Integralrechnern nachprüfen.

DariaL aktiv_icon

10:40 Uhr, 30.12.2017

Falls du noch Zeit hast, hier ist ein weiteres Beispiel (siehe angehängtes Bild) , bei dem ich mit dieser Vorgangsweise nicht auf die gewünschte Lösung komme.

Vielleicht kannst du es kurz nachrechnen- bis jetzt gab es in den 8 Kapiteln davor noch keine Fehler bei den Lösungen.

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12:27 Uhr, 30.12.2017

< f, g > = \int_{- 1}^{1} f g d x = \int_{- 1}^{1} (2 x - 1) (2 x^{3} + 2) d x = \int_{- 1}^{1} (4 x^{4} + 4 x - 2 - 2 x^{3}) d x =

= \int_{- 1}^{1} (4 x^{4} - 2) d x = [\frac{4}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 4 = \frac{8}{5} - 4 = \frac{- 12}{5}

.

Hier ist alles OK.

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12:35 Uhr, 30.12.2017

∥ f ∥_{2}^{2} = \int_{- 1}^{1} (2 x - 1)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (4 x^{2} - 4 x + 1) d x = [\frac{4}{3} x^{3}]_{- 1}^{1} + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3} = \frac{42}{9} = (\frac{\sqrt{42}}{3})^{2}

, hier ist also auch alles OK.

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12:48 Uhr, 30.12.2017

∥ g ∥_{2}^{2} = \int_{- 1}^{1} (2 x^{3} + 2)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (4 x^{6} + 8 x^{3} + 4) d x = [\frac{4}{7} x^{7}]_{- 1}^{1} + 8 = \frac{8}{7} + 8 = \frac{64}{7} = (\frac{8 \sqrt{7}}{7})^{2}

, hier ist auch alles OK.

DariaL aktiv_icon

13:02 Uhr, 30.12.2017

Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt auch einen Fehler in meinem Rechenweg bei diesem Beispiel gefunden. Beim anderen Beispiel ist dann anscheinend wirklich die falsche Lösung eingetragen.

Danke noch einmal für deine Mühe. Du hast mir sehr geholfen :-)

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