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Voraussetzung für existenz einer umkehrfunktion
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Funktionentheorie
 
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anonymous 22:39 Uhr, 25.08.2005  |
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hallo zusammen! ich habe eine frage: kann mir vllt einer von euch die vorausetzung(en) für die existenz eine rumkehrfunktion nennen? (wenn möglich leicht verständlich und mit erläuternug.......). wäre euch soooooo dankbar!!!! |
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anonymous 23:49 Uhr, 25.08.2005 |
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eine funktion f hat genau dann eine (zumindest auf einem gewissen Bereich)Umkehrfunktion wenn f injektiv ist. wäre f nicht injektiv so gäbe es x<>y mit f(x)=f(y) die umkehrfunktion, die ja das f(x) wieder auf das x abbilden soll ergibt das eine unmögliche Situation da sie das f(x) einerseits auf x abbilden, andereseits auf y abbilden soll. f muss also injektiv sein. f muss aber eigentlich auch surketiv sein (also insgesamt bijektiv), da angenommen f wäre nicht surjektiv gäbe es einzlene Bildpunkte die nicht angenommen werden (z.b. f(x)=x^2 -> -1 wird nicht angenommen, da kein x e R existeiert sodass x^2=-1) Für die Umkehrfunktion ist aber auch das eien blöde Sache, da sie ja jedem Bildwert einen Ursprungswert zuordnen soll, das geht aber logischerweise nur wenn f jeden Bildwert annimmt. Also zusammenfassen. f muss injektiv sein damit eine Umkehrfunktion auf einem gewissen Bereich exisitert (nämlich dem Bildbereich von f). f muss zusätzlich surjektiv sein - dann ist die Umkehrfunktion auf ganz R definiert. alle klarheiten beseitigt? ^^ |
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anonymous 00:01 Uhr, 26.08.2005 |
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wow, super! injektiv und surjektiv! verstehe. danke!!!! :) werde mal versucehn, das meinem lehrer zu erklären......... |
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Jede auf [a,b] streng monotone Funktion besitzt eine Umkehrfunktion. allgemein besitzen meines wissen auf jedenfall alle stetigen funtionen die nur eine monotonie aufweisen (entweder streng monoton steigend oder fallend) eine ausrechenbare umkehrfunktion. Und anschaulich: Zeichne dir die Funktion, bei der du wissen willst, ob sie eine Umkehrfuntkion hat, mal in ein Koordinatensystem. Markiere dir jetzt auf der y-Achse einen Punkt und ziehe eine Gerade durch diesen Punkt, die parallel zur x-Achse ist. Wenn es [B]irgendeinen Punkt[/B] auf der y-Achse gibt, sodass die Gerade durch diesen Punkt zwei Schnittpunkte mit der Funktion hat, dann ist die Funktion nicht umkehrbar. Wenn aber [B]für alle[/B] y-Werte die Gerade durch den y-Wert immer höchstens einen Schnittpunkt mit der Funktion hat, dann ist die Funktion umkehrbar. hoffe das war etwas überschaulicher ist aber genau das selbe wie oben von mein vorredner ;-) eigentlich Sei f(x)eine Funktion und f_(x) die zu bestimmende Umkehrfunktion. 1.) Der Definitionsbereich von f(x) ist der Wertebereich von f_(x): 2.) Der Wertebereich von f(x) ist der Definitionsbereich von f_(x): 3.) Schreibe in der Funktionsgleichung y statt f(x) 4.) Löse diese Gleichung nach x auf 5.) Nehme Variablentausch vor, d.h. schreibe y statt x und umgekehrt 6.) Ersetze y durch f_(x) das geht aber wirklich nur mit monotonen Funktionen y=x^2 geht nicht auch wenn wir das umformen könnten nach f_(x)=x^0,5 1. oben wäre erfüllt aber 2. geht nicht weil bie x=-1 die Funktion nicht definiert ist. y=x^0,5 ist aber die umkehrfunktion für y=x^2 für D(0,+oo) hoffe mal das alles richtig ist volker |
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anonymous 14:11 Uhr, 26.08.2005 |
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wow, super! injektiv und surjektiv! verstehe. danke!!!! :) werde mal versucehn, das meinem lehrer zu erklären......... ist das ironisch gemeint? wenn ja, ich kann esauch noch mit beispielen erklären, aber über injektiv und surjektiv führt bei der umkehrfunktion kein weg vorbei ;) |
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Hallo. Ich glaube nicht dass das ironisch gemeint war. Es ist nur so, dass "injektiv" und "surjektiv" normalerweise in der Schule nicht verwendet werden (war jedenfalls bei mir so). Aber ich denke, ihr Lehrer schnallt das schon :-). Gruss, Kosekans |
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