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# Vorschrift zum Extrapolationstableaus

## Tags: Sonstig

15:33 Uhr, 07.06.2024

Hallo,
Mir ist folgende Aufgabe gegeben:

Sie die Vorschrift zum Bilden des Extrapolationstableaus, d.h. für $a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}:{ℝ}_{+}\to ℝ$ ist ${a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}0}=a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)$ für $i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0,1,2,\dots$ und
${a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}={a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-1}+\frac{{a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-1}-{a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-1,k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-1}}{{\left(\frac{{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}}{{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}}\right)}^{q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}-1},\phantom{\rule{1em}{0ex}}k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=1,2,\dots ,\phantom{\rule{1em}{0ex}}i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1,\dots ,$
wobei ${a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}={p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\left(0\right)$ ist und ${p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ die Stützwerte $a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right),\dots ,a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)$ in den Stützstellen ${h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}},\dots ,{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ mit $q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\ge 1$ interpoliert.

Wenn ich das richtig sehe ist diese Formel ja irgendwie eine Form der Richardson-Extrapolation bzw. kann ich doch die Formel zur Auswertung des Extrapolationsprozesses mit dem Neville-Schema verwenden, oder?

Mit letzterem würde ich ja folgendes erhalten:

--> siehe für Tabelle das Bild im Anhang <--

Für eine Schrittweitenfolge ${\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\in ℕ}$ mit $\underset{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\to \infty }{limsup}\frac{{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1}}{{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}}<1$ müsste dann folgen:
$a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0\right)-{a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=$ $\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{\left(k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1\right)q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)$ für $i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\to \infty$

Soweit so gut - jetzt weiß ich aber nicht wirklich weiter, wie ich die gefragte Formel weiters zeigen soll!?

LG Euler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

18:43 Uhr, 10.06.2024

Zum einen scheinen Spezialkenntnisse in Extrapolation notwendig zu sein, um hier mitreden zu können. Zum anderen bedarf der $\square$-Operator in deiner Formel einer Erklärung - für mich sieht das eher nach einem LaTeX-Unfall aus.

19:18 Uhr, 10.06.2024

Hi,
Da ist anscheinend wirklich etwas mit LaTeX schiefgelaufen - da sollte eigentlich anstatt $$ ein Landau-Symbol hin (ich bekomme das hier aber irgendwie nicht hin?).

Zu dem Operator weiß ich ansonsten noch folgendes:
Die Funktion $a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ hat eine asymptotische Entwicklung, also
$a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)={a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{0}+\sum _{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0}^{n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{i\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}+{a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1}\left(h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{\left(n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1\right)q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$
mit $q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}>0$ und ${a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1}\left(h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)={a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1}+o\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(1\right)$ für $h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\to 0$
${\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0,1,2,\dots }$ ist dann außerdem eine monoton fallende Folge positiver Zahlen mit der Eigenschaft:
$\exists \varrho \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\in \left(0,1\right):0<\frac{{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1}}{{h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}}\le \varrho \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}<1\forall k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\in \left\{0,1,2,\dots \right\}$

Hiermit sollte dann für das Interpolationspolynom ${p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{\left(k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\in {P\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ durch $\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}},a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)\right),\dots ,\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}},a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)\right)$ dann gelten:
$a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0\right)-{p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{\left(k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\left(0\right)=\left({h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}_{k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{\left(n\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+1\right)q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\right)$

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