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Vorschrift zum Extrapolationstableaus

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Sonstiges

Tags: Sonstig

Euler03 aktiv_icon

15:33 Uhr, 07.06.2024

Hallo,
Mir ist folgende Aufgabe gegeben:

Sie die Vorschrift zum Bilden des Extrapolationstableaus, d.h. für

a : ℝ_{+} \to ℝ

ist

a_{i 0} = a (h_{i})

für

i = 0, 1, 2, \dots

und

a_{i k} = a_{i, k - 1} + \frac{a_{i, k - 1} - a_{i - 1, k - 1}}{{(\frac{h_{i - k}}{h_{i}})}^{q} - 1}, k = 1, 2, \dots, i = k, k + 1, \dots,

wobei

a_{i k} = p_{i - k, i} (0)

ist und

p_{i - k, i}

die Stützwerte

a (h_{i - k}), \dots, a (h_{i})

in den Stützstellen

h_{i - k}^{q}, \dots, h_{i}^{q}

mit

q \geq 1

interpoliert.

Wenn ich das richtig sehe ist diese Formel ja irgendwie eine Form der Richardson-Extrapolation bzw. kann ich doch die Formel zur Auswertung des Extrapolationsprozesses mit dem Neville-Schema verwenden, oder?

Mit letzterem würde ich ja folgendes erhalten:

--> siehe für Tabelle das Bild im Anhang <--

Für eine Schrittweitenfolge

{(h_{i})}_{i \in ℕ}

mit

\underset{i \to \infty}{limsup} \frac{h_{i + 1}}{h_{i}} < 1

müsste dann folgen:

a (0) - a_{i k} =

 (h_{i - k}^{(k + 1) q})

für

i \to \infty

Soweit so gut - jetzt weiß ich aber nicht wirklich weiter, wie ich die gefragte Formel weiters zeigen soll!?

LG Euler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

18:43 Uhr, 10.06.2024

Zum einen scheinen Spezialkenntnisse in Extrapolation notwendig zu sein, um hier mitreden zu können. Zum anderen bedarf der

□

-Operator in deiner Formel einer Erklärung - für mich sieht das eher nach einem LaTeX-Unfall aus.

Euler03 aktiv_icon

19:18 Uhr, 10.06.2024

Hi,
Da ist anscheinend wirklich etwas mit LaTeX schiefgelaufen - da sollte eigentlich anstatt



ein Landau-Symbol hin (ich bekomme das hier aber irgendwie nicht hin?).

Zu dem Operator weiß ich ansonsten noch folgendes:
Die Funktion

a (h)

hat eine asymptotische Entwicklung, also

a (h) = a_{0} + \sum_{i = 0}^{n} a_{i} h^{i q} + a_{n + 1} (h) h^{(n + 1) q}

mit

q > 0

und

a_{n + 1} (h) = a_{n + 1} + o (1)

für

h \to 0

{(h_{k})}_{k = 0, 1, 2, \dots}

ist dann außerdem eine monoton fallende Folge positiver Zahlen mit der Eigenschaft:

\exists ϱ \in (0, 1) : 0 < \frac{h_{k + 1}}{h_{k}} \leq ϱ < 1 \forall k \in {0, 1, 2, \dots}

Hiermit sollte dann für das Interpolationspolynom

p_{n}^{(k)} \in P_{n}

durch

(h_{k}^{q}, a (h_{k})), \dots, (h_{k + n}^{q}, a (h_{k + n}))

dann gelten:

a (0) - p_{n}^{(k)} (0) =  (h_{k}^{(n + 1) q})

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