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Vorzeichentabelle mit parameter

Schüler Berufsoberschulen, 13. Klassenstufe

Wertetabelle

Tags: Wertetabell

mariusmathe aktiv_icon

19:29 Uhr, 01.12.2010

Hallo
ich hätte eine frage. ich habe eine funktion

fa(x)

= \frac{{(1 + ln (a \cdot x))}^{2}}{x}

die erste ableitung habe ich noch hinbekommen

fa

(x) = \frac{(1 + ln (a \cdot x)) \cdot (1 - ln (a \cdot x))}{x^{2}}

als beide nullstellen habee ich

\frac{1}{a} \cdot e

und

\frac{e}{a}

bekommen. Ich muss jetzt noch herausfinden ob es ein hochpunkt oder tiefpunkt ist. das ganze soll mit vorzeichentabelle gemacht werden. außerdem a ist ein element von

R +

. die lösung habe ich schon vor mir liegen. ich weiß aber nicht wie man darauf kommt das alles kleiner

\frac{1}{a \cdot e}

negativ und alles größer als

\frac{e}{a}

negativ ist.

QPhma aktiv_icon

00:05 Uhr, 05.12.2010

Eine Vorzeichentabelle zu machen geht nicht so einfach, weil der Parameter a ja nicht bekannt ist. Also bleibt nur, das Vorzeichen der 1. Ableitung zu diskutieren.

{f'}_{a} (x) = \frac{[1 + ln (a \cdot x)] \cdot [1 - ln (a \cdot x)]}{x^{2}}

x_{1} = \frac{e}{a}

Für die erste eckige Klammer im Zähler ergibt sich:

[1 + ln (a \cdot x_{1})] = 1 + ln (e) = 2

. Wenn also das

x

ein wenig kleiner oder größer wird als

x_{1},

ändert die erste eckige Klammer ihr Vorzeichen nicht.
Für die zweite eckige Klammer gilt:

[1 - ln (a \cdot x)] > 0

für

a \cdot x < e,

also für

x < x_{1}

[1 - ln (a \cdot x)] < 0

für

a \cdot x > e,

also für

x > x_{1}

Damit ändert die zweite eckige Klammer ihr Vorzeichen von

+

-,

wenn

x

mit wachsenden Werten über die Nullstelle geht. Da sowohl die erste eckige Klammer als auch der Nenner positiv sind, zeigt

{f'}_{a} (x)

den selben Vorzeichenwechsel. Also liegt ein Hochpunkt vor.

Nach dem gleichen Muster kann auch die zweite Nullstelle untersucht werden.

mariusmathe aktiv_icon

13:14 Uhr, 05.12.2010

danke für die hilfe. ich habe es jetzt verstanden

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