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W-keiten in der Maßtheorie

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

 
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carla95

carla95 aktiv_icon

08:52 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Es sei (,A,P) ein W-Raum und X:(,A)(R,B1) Zufallsvariable mit PX= 12π χ[π,π]·λ1. Außerdem setzen wir Y:=(cos(X/2))2.

a) Zeigen Sie, dass X(π,π) P-fast sicher ist.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FY von PY sowie eine dazugehörige Dichtefunktion fY . Skizzieren Sie FY und fY .
c) Berechnen Sie E(Y) und E(Y)

Hilfe!

Haben in unserer Maßtheorie einen Abstecher in die WT gemacht und diese Aufgabe ist das Ergebnis!
Wie berechne ich die einzelnen Bestandteile der Aufgaben für lebesgueintegrierbare Abbildungen?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:03 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Bei a) ist PX((-π,π))=1 zu zeigen - einfach dieses Intervall in die gegebene Maßdefinition von PX einsetzen!

Dazu doch noch eine Anmerkung: Die von dir angegebene Formel für PX finde ich etwas seltsam, da sich χ[-π,π] ja auf reelle Argumente bezieht statt - wie hier gefordert - auf messbare Teilmengen reeller Zahlen!!! Ich gehe davon aus, dass damit EIGENTLICH

PX(A):=12πλ1(A[-π,π])

gemeint ist.



Bei b) streng nach Definition vorgehen: Es ist

FY(y)=P(Yy)=P(cos2(X2)y)(*)

Für y<0 ergibt das 0, für y1 dagegen 1 - beides gilt, weil dieses Kosinusquadrat immer zwischen 0 und 1 liegt. Für 0y<1 musst du das fragliche Ereignis cos2(X2)y äquivalent umformen in eine passende X-Menge (Intervall bzw. evtl. Vereinigung von Intervallen):

Es ist hier X2(-π2,π2), und auf diesem Intervall ist die Kosinusfunktion positiv. Daher kann man hier bedenkenlos die Wurzel ziehen, d.h., das Ereignis ist äquivalent zu cos(X2)y. Schaut man sich die Kosinusfunktion im hier relevanten Intervall (-π2,π2) an, dann ist diese Ungleichung gleichbedeutend mit

X((-π,-2arccos(y)][2arccos(y),π))

Angesichts des gegebenen PX solltest du damit sowie (*) nun FY(y) berechnen können.

Die Dichte fY ist (Lebesgue-fast-überall) gleich der Ableitung von FY, sollte also im Anschluss an die Berechnungen von eben berechenbar sein.


c) könnte man über die Verteilung von Y berechnen - m.E. ist aber die Berechnung über X weniger aufwändig, da die zugehörigen Integrale einfacher zugänglich sind:

E(Y)=E(cos2(X2))=-ππcos2(x2)fX(x)dx=-ππ1+cos(x)2fX(x)dx

letzteres wegen eines Additionstheorems, welches hier die Integralberechnung noch weiter erleichtert. Entsprechend gilt für die Wurzel

E(Y)=E(cos(X2))=-ππcos(x2)fX(x)dx .
carla95

carla95 aktiv_icon

13:12 Uhr, 13.01.2021

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Hallo HAL

Zitat:
"Bei a) ist PX((π,π))=1 zu zeigen - einfach dieses Intervall in die gegebene Maßdefinition von PX einsetzen!"

Du meinst doch hier sicher die Definition, dass PX((π,π))=P(X-1((π,π)) ist denke ich. Also muss doch auch gelten, dass P(X-1((π,π))=1 ist. Aber wie argumentiere ich hier weiter?? Oder meinst du eine andere Definition für PX?
Oder könnte man alternativ auch zeigen, dass P ohne X eine Nullmenge darstellen muss?

Zitat:
"Bei b) streng nach Definition vorgehen:"...

Hier kann ich deine Argumentationsweise so gerade eben noch nachvollziehen, finde die Aufgabe für das was ich bisher so kennengelernt habe aber echt schwierig.
Ich kann mir nämlich gerade nicht so recht vorstellen, was im Intervall [0,1] bei der Verteilungsfunktion genau passiert und wie ich diese nun genau berechnet bekomme, wie kann ich hier bspw. jetzt das PX benutzen?
Zur Vorstellung ist es ja zunächst einmal klar, dass die sich die Verteilungsfunktion im Intervall zwischen 0 und 1 bewegt, wobei diese streng wachsend und rechtsstetig ist. Aber wie genau kann ich mir jetzt die Schrittfolge zwischen 0 und 1 vorstellen?


Entschuldige für die vielen Nachfragen, aber mein Prof hat uns das einfach mal so als Aufgabe vorgegeben,ohne dass wir jemals eine Verteilungsfunktion o.ä. in der VL gesehen hätten..

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:37 Uhr, 13.01.2021

Antworten
Was soll ich noch zu a) sagen? Wirklich einfach das Intervall A=(-π,π) in PX(A)=12πλ1(A[-π,π]) einsetzen!!!

Das ergibt PX((-π,π))=12πλ1((-π,π)[-π,π])=12πλ1((-π,π))=12π2π=1.

War das wirklich so schwer?


Was deine restlichen Ausführungen betrifft scheint es massiv am Verständnis der Grundbegriffe zu mangeln (liegt womöglich an fehlenden bzw. unzureichend durchführbaren Übungen/Tutorien infolge Corona): Was für den Fall 0y<1 lediglich noch fehlt ist die Zeile (wiederum Einsetzen!!!)

FY(y)=P(X(-π,-2arccos(y)][2arccos(y),π))
=PX((-π,-2arccos(y)][2arccos(y),π))
=12π(-2arccos(y)-(-π)+π-2arccos(y))=1-2πarccos(y).

carla95

carla95 aktiv_icon

20:59 Uhr, 13.01.2021

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Wenn man das einmal gesehen hat, ist es natürlich im Nachhinein einfacher als es eventuell vorher ausgesehen hat. Könnte aber auch daran liegen dass ich es noch von Niemandem anschaulisch oder mithilfe von Beispielen erklärt bekommen habe, und mir daher solche Anwendungsaufgaben einfach schwerfallen. Vielen Dank!

Berechnet haben wir nämlich jetzt das Ganze, wie die Verteilungsfunktion schlussendlich im Intervall aussieht kann ich mir aber trotzdem noch nicht wirklich vorstellen
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

21:27 Uhr, 13.01.2021

Antworten
> wie die Verteilungsfunktion schlussendlich im Intervall aussieht kann ich mir aber trotzdem noch nicht wirklich vorstellen

Du wirst doch irgendeine Möglichkeit kennen, eine gegebene reelle Funktion irgendwie graphisch darzustellen (Funktionsplotter) ? Und sei es in Excel, wenn es sein muss.

Ansonsten musst du hoffen, dass irgendein nettes Boardmitglied auch das noch für dich erledigt (ich bin keiner von den netten ;-) ).


Mach doch einstweilen weiter mit der Dichte.
Frage beantwortet
carla95

carla95 aktiv_icon

22:37 Uhr, 13.01.2021

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Die Verteilungsfunktion entspricht ja der Fläche unterhalbe der Dichtefunktion, woraus folgt, dass die Dichtefunktion ja einfach die Ableitung der Verteilungsfunktion ist, das habe ich noch selbst hinbekommen
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:28 Uhr, 14.01.2021

Antworten
Es war ja auch nur als Angebot gedacht, deine weiteren Resultate von b) und c) zu überprüfen.