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W-keiten in der Maßtheorie

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

carla95 aktiv_icon

08:52 Uhr, 13.01.2021

Es sei

(Ω, A, P)

ein W-Raum und

X : (Ω, A) \to (R, B_{1})

Zufallsvariable mit

P^{X} =

\frac{1}{2 π}

χ [- π, π] \cdot λ_{1}

. Außerdem setzen wir

Y := (c o s (X / 2))^{2}

.

a) Zeigen Sie, dass

X \in (- π, π)

P-fast sicher ist.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion

F^{Y}

von

P^{Y}

sowie eine dazugehörige Dichtefunktion

f^{Y}

. Skizzieren Sie

F^{Y}

und

f^{Y}

.
c) Berechnen Sie

E (\sqrt Y)

und

E (Y)

Hilfe!

Haben in unserer Maßtheorie einen Abstecher in die WT gemacht und diese Aufgabe ist das Ergebnis!
Wie berechne ich die einzelnen Bestandteile der Aufgaben für lebesgueintegrierbare Abbildungen?

HAL9000

10:03 Uhr, 13.01.2021

Bei a) ist

P^{X} ((- π, π)) = 1

zu zeigen - einfach dieses Intervall in die gegebene Maßdefinition von

P^{X}

einsetzen!

Dazu doch noch eine Anmerkung: Die von dir angegebene Formel für

P^{X}

finde ich etwas seltsam, da sich

χ_{[- π, π]}

ja auf reelle Argumente bezieht statt - wie hier gefordert - auf messbare Teilmengen reeller Zahlen!!! Ich gehe davon aus, dass damit EIGENTLICH

P^{X} (A) := \frac{1}{2 π} \cdot λ_{1} (A \cap [- π, π])

gemeint ist.

Bei b) streng nach Definition vorgehen: Es ist

F^{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (\cos^{2} (\frac{X}{2}) \leq y) (*)

Für

y < 0

ergibt das 0, für

y \geq 1

dagegen 1 - beides gilt, weil dieses Kosinusquadrat immer zwischen 0 und 1 liegt. Für

0 \leq y < 1

musst du das fragliche Ereignis

\cos^{2} (\frac{X}{2}) \leq y

äquivalent umformen in eine passende

X

-Menge (Intervall bzw. evtl. Vereinigung von Intervallen):

Es ist hier

\frac{X}{2} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

, und auf diesem Intervall ist die Kosinusfunktion positiv. Daher kann man hier bedenkenlos die Wurzel ziehen, d.h., das Ereignis ist äquivalent zu

\cos (\frac{X}{2}) \leq \sqrt{y}

. Schaut man sich die Kosinusfunktion im hier relevanten Intervall

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

an, dann ist diese Ungleichung gleichbedeutend mit

X \in ((- π, - 2 \arccos (\sqrt{y})] \cup [2 \arccos (\sqrt{y}), π))

Angesichts des gegebenen

P^{X}

solltest du damit sowie (*) nun

F^{Y} (y)

berechnen können.

Die Dichte

f_{Y}

ist (Lebesgue-fast-überall) gleich der Ableitung von

F_{Y}

, sollte also im Anschluss an die Berechnungen von eben berechenbar sein.

c) könnte man über die Verteilung von

Y

berechnen - m.E. ist aber die Berechnung über

X

weniger aufwändig, da die zugehörigen Integrale einfacher zugänglich sind:

E (Y) = E (\cos^{2} (\frac{X}{2})) = \int_{- π}^{π} \cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot f_{X} (x) d x = \int_{- π}^{π} \frac{1 + \cos (x)}{2} \cdot f_{X} (x) d x

letzteres wegen eines Additionstheorems, welches hier die Integralberechnung noch weiter erleichtert. Entsprechend gilt für die Wurzel

E (\sqrt{Y}) = E (\cos (\frac{X}{2})) = \int_{- π}^{π} \cos (\frac{x}{2}) \cdot f_{X} (x) d x

carla95 aktiv_icon

13:12 Uhr, 13.01.2021

Hallo HAL

Zitat:
"Bei a) ist

P^{X} ((- π, π)) = 1

zu zeigen - einfach dieses Intervall in die gegebene Maßdefinition von PX einsetzen!"

Du meinst doch hier sicher die Definition, dass

P^{X} ((- π, π)) = P (X^{- 1} ((- π, π))

ist denke ich. Also muss doch auch gelten, dass

P (X^{- 1} ((- π, π)) = 1

ist. Aber wie argumentiere ich hier weiter?? Oder meinst du eine andere Definition für

P^{X}

?
Oder könnte man alternativ auch zeigen, dass P ohne X eine Nullmenge darstellen muss?

Zitat:
"Bei b) streng nach Definition vorgehen:"...

Hier kann ich deine Argumentationsweise so gerade eben noch nachvollziehen, finde die Aufgabe für das was ich bisher so kennengelernt habe aber echt schwierig.
Ich kann mir nämlich gerade nicht so recht vorstellen, was im Intervall [0,1] bei der Verteilungsfunktion genau passiert und wie ich diese nun genau berechnet bekomme, wie kann ich hier bspw. jetzt das

P^{X}

benutzen?
Zur Vorstellung ist es ja zunächst einmal klar, dass die sich die Verteilungsfunktion im Intervall zwischen 0 und 1 bewegt, wobei diese streng wachsend und rechtsstetig ist. Aber wie genau kann ich mir jetzt die Schrittfolge zwischen 0 und 1 vorstellen?

Entschuldige für die vielen Nachfragen, aber mein Prof hat uns das einfach mal so als Aufgabe vorgegeben,ohne dass wir jemals eine Verteilungsfunktion o.ä. in der VL gesehen hätten..

HAL9000

13:37 Uhr, 13.01.2021

Was soll ich noch zu a) sagen? Wirklich einfach das Intervall

A = (- π, π)

P^{X} (A) = \frac{1}{2 π} \cdot λ_{1} (A \cap [- π, π])

einsetzen!!!

Das ergibt

P^{X} ((- π, π)) = \frac{1}{2 π} \cdot λ_{1} ((- π, π) \cap [- π, π]) = \frac{1}{2 π} \cdot λ_{1} ((- π, π)) = \frac{1}{2 π} \cdot 2 π = 1

.

War das wirklich so schwer?

Was deine restlichen Ausführungen betrifft scheint es massiv am Verständnis der Grundbegriffe zu mangeln (liegt womöglich an fehlenden bzw. unzureichend durchführbaren Übungen/Tutorien infolge Corona): Was für den Fall

0 \leq y < 1

lediglich noch fehlt ist die Zeile (wiederum Einsetzen!!!)

F_{Y} (y) = P (X \in (- π, - 2 \arccos (\sqrt{y})] \cup [2 \arccos (\sqrt{y}), π))

= P^{X} ((- π, - 2 \arccos (\sqrt{y})] \cup [2 \arccos (\sqrt{y}), π))

= \frac{1}{2 π} (- 2 \arccos (\sqrt{y}) - (- π) + π - 2 \arccos (\sqrt{y})) = 1 - \frac{2}{π} \arccos (\sqrt{y})

carla95 aktiv_icon

20:59 Uhr, 13.01.2021

Wenn man das einmal gesehen hat, ist es natürlich im Nachhinein einfacher als es eventuell vorher ausgesehen hat. Könnte aber auch daran liegen dass ich es noch von Niemandem anschaulisch oder mithilfe von Beispielen erklärt bekommen habe, und mir daher solche Anwendungsaufgaben einfach schwerfallen. Vielen Dank!

Berechnet haben wir nämlich jetzt das Ganze, wie die Verteilungsfunktion schlussendlich im Intervall aussieht kann ich mir aber trotzdem noch nicht wirklich vorstellen

HAL9000

21:27 Uhr, 13.01.2021

> wie die Verteilungsfunktion schlussendlich im Intervall aussieht kann ich mir aber trotzdem noch nicht wirklich vorstellen

Du wirst doch irgendeine Möglichkeit kennen, eine gegebene reelle Funktion irgendwie graphisch darzustellen (Funktionsplotter) ? Und sei es in Excel, wenn es sein muss.

Ansonsten musst du hoffen, dass irgendein nettes Boardmitglied auch das noch für dich erledigt (ich bin keiner von den netten ;-) ).

Mach doch einstweilen weiter mit der Dichte.

carla95 aktiv_icon

22:37 Uhr, 13.01.2021

Die Verteilungsfunktion entspricht ja der Fläche unterhalbe der Dichtefunktion, woraus folgt, dass die Dichtefunktion ja einfach die Ableitung der Verteilungsfunktion ist, das habe ich noch selbst hinbekommen

HAL9000

09:28 Uhr, 14.01.2021

Es war ja auch nur als Angebot gedacht, deine weiteren Resultate von b) und c) zu überprüfen.

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