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Waagerechte und Senkrechte Tangente log. Spirale

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, logarithmische spirale, Phi, Senkrechte Tangen, waagerechte Tangente

Jimmy1990 aktiv_icon

07:00 Uhr, 01.03.2014

Guten Morgen :-)

Die Gleichung der logarithmischen Spirale lautet :

x = e^{φ} \cdot cos (φ)

y = e^{φ} \cdot sin (φ)

An welchen Stellen hat die Kurve waagerechte und senkrechte Wendetangenten?

Ich kam auf das Ergebnis:

waagerecht

= - \frac{π}{4}

senkrecht=

\frac{π}{4}

In der Lösung steht jedoch noch zusätzlich:

waagerecht

= φ \to - \frac{π}{4} + k (π)

senkrecht

= φ \to \frac{π}{4} + k (π)

Könnte mir bitte jemand erklären wofür das

k

steht und wie sich dies zusammensetzt?

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Femat aktiv_icon

07:50 Uhr, 01.03.2014

Ich assoziiere Folgendes:

Bei trig. Funktionen wiederholt sich alles periodisch

k

mal.

Na gut, das war jetzt keine wissenschaftliche Abhandlung. nur Blitzidee.

Jimmy1990 aktiv_icon

08:09 Uhr, 01.03.2014

Ich habe noch eine ähnlich Aufgabe entdeckt wo das

k

auch in der Lösung vorkommt.

Bestimmen Sie die Punkte, in der die Funktion

R = sin (φ)

waagerecht und/oder senkrechte Tangenten hat.

Lösung:

Waagerecht:

0 + \frac{π}{2} \cdot k (k = 0, \pm 1, 2, 3, ...)

Senkrecht:

\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot k (k = 0, \pm 1, 2, 3, ...)

Respon

08:40 Uhr, 01.03.2014

Zur Erinnerung:
waagrecht:

φ = 0 \Rightarrow 0 + k \cdot π

k \in ℤ

ODER

φ = \frac{π}{2} \Rightarrow \frac{π}{2} + k \cdot π

k \in ℤ

Eigentlich ist die "normale" Periode von sin jeweils

2 \cdot π,

hier hatten wir es aber mit

sin (2 \cdot φ)

zu tun.
Das bringt bei diesem Beispiel aber nichts, da zu den unendlich vielen

φ -

Werten nur die

r -

Werte 0 und 1 gehören.

senkrecht:

φ = \frac{π}{4} \Rightarrow \frac{π}{4} + k \cdot π

ODER

φ = \frac{3 \cdot π}{4} \Rightarrow \frac{3 \cdot π}{4} + k \cdot π

Dieser Wert wurde über tan ermittelt ( hat die Periode

π)

Bringt ebenfalls nichts, da der zugehörige

r -

Wert stets

\frac{\sqrt{2}}{2}

ist

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