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Wachstum modellieren

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Verteilungsfunktionen

Tags: regression, Verteilungsfunktion

birdbox

20:54 Uhr, 21.10.2017

Hallo, ich habe eine 2-dimensionale Stichprobe:
$x_{i} ∣ 1802 ∣ 1927 ∣ 1961 ∣ 1974 ∣ 1987 ∣ 1999 ∣ 2011$
$y_{i} ∣ 1 ∣ 2 ∣ 3 ∣ 4 ∣ 5 ∣ 6 ∣ 7$

und soll das Wachstum $y = f (x) = b \cdot a^{x}$ modellieren, allerdings soll ich es zurückführen auf lineare Regression (durch logarithmieren), also keine Methoden der nichtlinearen Regression anwenden. Dann einen Scatterplot von $\log y$ über $x$ zeichnen, die Regressionsgerade berechnen und daraus $a$ und $b$ berechnen und dann den Scatterplot von $y$ über $x$ zeichnen und die Regressionskurve einzeichnen.

Also ich dachte mir, ich fange mal so an:
$y = b \cdot a^{x} \overset{}{\Leftrightarrow} l o g_{a} (y) = l o g_{a} (b) + x$
Also $f_{1} = l o g_{a} (b)$ und $f_{2} = x$ . Bei $f_{1}$ wäre ja $b = 1$ , also $f_{1} = 1$ , richtig soweit?

Dann dachte ich mir ich stell das LGS $C a = b$ auf und berechne die $a$ 's.
Also $C_{k, l} = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (x_{i}) \cdot f_{l} (x_{i})$ und $b_{k} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \cdot f_{k} (x_{i})$ .
Somit $C_{1, 1} = 7, C_{1, 2} = 13661, C_{2, 2} = 26691021$ .

Bei den $b$ 's bin ich nicht sicher, welche $y_{i}$ 's ich verwenden muss. Eigentlich ja die logarithmierten $y_{i}$ 's oder? Jedoch was ist $l o g_{a} (1), l o g_{a} (2), l o g_{a} (3), . . .$ , also was ist $a$ ?

Oder die normalen $y$ 's verwenden? Dann wäre $b_{1} = 28, b_{2} = 5541$ und die Lösungen des LGS wären: $a_{1} = - 46.82, a_{2} = 0.03$

Wie würde es jetzt weitergehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Mathe-Steve aktiv_icon

21:13 Uhr, 21.10.2017

Hallo,

was Du mit dem Gleichungssystem machen willst, verstehe ich nicht. Lineare Regression ist ein Optimierungsproblem. Zu minimieren ist die Summe der quadratischen Abweichungen der Schätzwerte von den Tabellenwerten.
Andererseits gibt es für die lineare Regression fertige Formeln oder auch Taschenrechner oder Excel.
Anbei eine kleine Sammlung von geeigneten Formeln für den Weg zu Fuß.

Gruß
Stephan

birdbox

11:02 Uhr, 22.10.2017

Vielen Dank für deine Antwort.

In unseren Unterlagen steht: Bei der linearen Regression setzt sich $f$ aus einer Linearkombination $f = a_{1} f_{1} + a_{2} f_{2} . . . + a_{m} f_{m}$ zusammen. Die $f_{k}$ können dabei beliebige Funktionen sein.
Die Lösung einer linearen Regression ergibt sich aus der Lösung des LGS $C a = b$ , wobei $a$ der Vektor der $m$ Parameter $a_{1}, a_{2}, . . .$ ist, $C$ eine $m \times m$ Matrix und $b$ ein $m$ -Vektor ist.

Und ich dachte ich könnte das so lösen, nein?

Mathe-Steve aktiv_icon

14:31 Uhr, 22.10.2017

Ich sehe nicht, wie dieses Vorgehen zum Erfolg führen soll.

birdbox

13:17 Uhr, 23.10.2017

Naja, die $a_{i}$ 's setze ich dann in die Formel ein (also $a_{1} = b$ und $a_{2} = a$ ) und komm dann zu meiner Kurve.

Aber ich habe falsch angefangen, besser mit $\ln$ , also

$y = b \cdot a^{x} \overset{}{\Leftrightarrow} \ln (y) = \ln (b) + \ln (a) \cdot x$ .

Okay die $\ln (y)$ -Werte zu berechnen ist nun kein Problem, allerdings was ist $f_{1}$ und was $f_{2}$ ?

Selbst wenn ich versuche nun $a$ und $b$ mit den Formeln auszurechnen, also über $s_{x, y}$ usw, komm ich zu keinem sinnvollen Ergebnis :(

ledum aktiv_icon

23:12 Uhr, 23.10.2017

Hallo
was eine plausible Lösung für lan und $b$ ist siehst du wenn du dir die Graphik von lax gegen $x$ ansiehst und die Gerade da möglichst gut durchlegst. Was du gerechnet hast (Exel kann das selbst) weiss ich nicht, also was willst du für ne Antwort?
Gruß ledum

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