Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wachstum von Bakterienkulturen

Wachstum von Bakterienkulturen

Schüler

Tags: exponentiell, Modell

stinlein aktiv_icon

15:33 Uhr, 13.10.2021

Hallo, liebe Helfer im Forum!
Ich komme leider mit dieser Aufgabe nicht klar. Bleibe einfach mitten in der Rechnung stecken. Bitte euch deshalb um Hilfe.
Aufgabe:
Das Wachstum von Bakterienkulturen lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen durch exponentielle Modelle beschreiben.

a)

Eine Bakterienkultur vergrößert sich pro Stunde um

25 %

. Bei einer ersten Messung bedeckt sie ein Fläche von 1cm^2.

a)

Stellen Sie einer Funktiongleichung auf, die dieses Wachstum in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.

A (t) = 1 . {1,25}^{t}

Wachstum in Abhängigkeit zur Zeit: Zeit in Stunden....t

A (t) =

Flächeninhalt in cm^2 zum Zeitpunkt

t

Das dürfte noch richtig sein. Aber jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich habe schon vieles probiert.

b)

Auf wieviel Prozent der ursprünglichen Größe ist die Bakterienkultur nach 6 Stunden angewachsen?

b)

Wann bedeckt die Bakterienkultur eine Fläche von

20

cm^2?
Bei

b)

hätte ich einmal den folgenden Ansatz versucht:

A (t) =

Ao .

a^{t}

A (t) = 1

{1,25}^{6} = 3,814697266

cm^2 (Stimmt hier die Benennung???)
Ich glaube da liege ich schon falsch.
Hier die Ergebnisse aus dem Auflöser:

b) 381 % c)

ca.

13,43 h

c)

Die Ausdehnung einer anderen Bakterienkultur wird täglich vermessen. Zu Beginn bedecken die Bakterien eine Fläche von

2,26

cm^2, 4 Tage später sind es

44,1

cm^2.
Erstellen Sie eine Funktionsgleichung, die dieses Bakterienwachstum in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Bitte euch schon wieder um eine gute Hilfestellung. Danke! Danke im Voraus!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

15:56 Uhr, 13.10.2021

> A (t) = 1

1,256 = 3,814697266

cm^2 (Stimmt hier die Benennung???)
Wenn du mit Benennung die Einheit meinst, dann ja. Wenngleich es mich stört dass die Einheit quasi vom Himmel fällt und vor dem letzten Gleichheitszeichen nicht da ist.
MMn gibts dafür zwei gangbare Wege:

1)

Man führt die komplette Rechnung ohne Einheiten durch und gibt die Einheit nur im Antwortsatz an. Schließlich fängst du ja auch mit

A (t) = 1 \cdot {1,25}^{t}

an, also ohne Einheiten und erklärst nur in Worten, dass

t

die Zeit in Stunden ist und das Ergebnis als Fläche in

c m^{2}

zu interpretieren wäre.

2)

Man führt die Rechnung konsequent mit Einheiten durch, was ich, obwohl aufwändiger/lästiger, bevorzugen würde, was aber, wie ich glaube, im Schulbereich nicht so sehr üblich ist.
Der Ansatz wäre dann

A (t) := 1 c m^{2} \cdot {1,25}^{\frac{t}{h}}

und man könnte da

t

in jeder beliebigen Zeiteinheit einsetzen und dass das Ergebnis eine Fläche ist, ist auch ohne Zusatzbemerkung klar.

So oder so, nach sechs Stunden beträgt die Fläche tatsächlich so wie von dir errechnet

3,8146 . .

c m^{2}

.
Aber das war ja nicht gefragt! Du solltest ja angeben, wie viel Prozent der ursprünglichen Fläche

(1 c m^{2})

das sind und da ist die Antwort eben ca.

381 %,

wie der Löser es auch angibt.
Auch die rund

13,43

Stunden sind richtig

(\frac{ln 20}{ln 1,25} h)

stinlein aktiv_icon

16:01 Uhr, 13.10.2021

Lieber Roman

22!

Danke für die Hilfe. Mir war eben nicht klar, wie ich

3,814 . .

. cm^2 in Prozent umrechne. Bleiben das nicht cm^2???

Danke für den Rest. Werde es gleich probieren. für a hätte ich

2,10175717

herausbekommen. Muss erst weiterrechnen.
stinlein

Roman-22

16:18 Uhr, 13.10.2021

>

Bleiben das nicht cm^2???
Natürlich! Die Fläche bleibt eine Fläche und wird nicht plötzlich eine benennungslose Größe die in Prozent ausgedrückt wird. Aber bei der Aufgabe war ja letztlich NICHT

A (6 h)

gefragt, sondern wie viel Prozent diese Fläche

A (6 h)

von der Ausgangsfläche

1 c m^{2}

sind.

Und

3,81 c m^{2}

sind nun mal

381 %

von

1 c m^{2}

Dafür muss man nun kaum eine Schlussrechnung (Dreisatz) anwerfen ;-)

1 c m^{2} ... ... ... ...

100 %

3,81 c m^{2} ... ... ...

. ?? %

>

für a hätte ich

2,10175717

herausbekommen.
Keine Ahnung, welche Aufgabe du jetzt damit meinst

stinlein aktiv_icon

16:23 Uhr, 13.10.2021

Lieber Roman22!
Ja - das war ein Kurzschluss. Alles bestens. Bei der letzten Aufgabe habe ich einmal a errechnet. Für a hätte ich

2,10175717

erhalten.
Ich habe so gerechnet:
I:

C (o) = 22,26

II.

c (4) = 44,1

Co.

a^{0} = 22,26

Co .

a^{4} = 44,1

Gleichsetzen beider Gleichung.

\frac{2,26}{1} = \frac{44,1}{a^{4}}

daraus folgt:

a = 2,10175717

Ich mache dann gleich weiter. Ich muss mich jetzt für 1 Stunde entschuldigen. Arbeite sofort weiter, wenn ich von der Apotheke zurück bin. Danke inzwischen.
stinlein

Roman-22

16:33 Uhr, 13.10.2021

Ach, da sollte es um die Aufgabe

c)

gehen.

Ja, wenn du die Gleichung auf die Form

A (t) = A_{0} \cdot a^{t}

bringen möchtest (mit

t

in der Einheit "Tage"), dann ist dein Ergebnis richtig.

Ich hätte einfach

A (t) = 2,26 c m^{2} \cdot {(\frac{44,1}{2,26})}^{\frac{t}{4 d}}

geschrieben.

d

soll dabei für die Zeiteinheit Tage stehen.
Die

2,26 c m^{2}

sind der Initalwert

A_{0}

zu Beginn der Zeitrechnung und

\frac{44,1}{2,26}

ist der Wachstumsfaktor für die Zeitperiode 4 Tage.
Bei diesem Ansatz muss man nix rechnen, nur die Angabewerte abschreiben und die geforderte Aufgabe, eine Funktionsgleichung anzugeben, ist damit bestens erfüllt. Auch Standardaufgaben wie die bei

a)

und

b)

ließen sich mit dieser Gleichung erledigen, ohne dass man auf irgend einen gerundeten Wert (wie eben die

2,10175 ...)

zurückgreifen muss.

Aber natürlich kann man auch umformen zu

A (t) = 2,26 c m^{2} \cdot {(\frac{44,1}{2,26})}^{\frac{t}{4 d}} = 2,26 c m^{2} \cdot {({(\frac{44,1}{2,26})}^{\frac{1}{4}})}^{\frac{t}{d}} \approx 2,26 c m^{2} \cdot {2,1017571696}^{\frac{t}{d}}

Und wenn es jemand ohne Euler-Zahl nicht aushält, dann eben

A (t) = 2,26 c m^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} \cdot {ln}^{\frac{44,1}{2,26}} \cdot \frac{t}{d}} \approx 2,26 c m^{2} \cdot e^{0,74277 \cdot \frac{t}{d}}

stinlein aktiv_icon

17:39 Uhr, 13.10.2021

Lieber Roman22!
Vielen lieben Dank für die Antwort. Ich hoffe, ich habe alles verstanden. Ich werde mir das abends nochmals ganz genau durch den Kopf gehen lassen. Wenn ich dann noch eine Rückfrage habe, bin ich so frei und lasse wieder von mir hören.
DANEK! DANKE!...... für die Erklärungen. Bis auf bald wieder. Bei den nächsten Aufgaben da spielt dann eben die Eulersche Zahl eine Rolle - wie ich eben sehe.
Nochmals herzlichen Dank!
stinlein

1542415

1542403

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?