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Wachstumsfaktor bestimmen, rekursive Formel und ex

Schüler

Tags: Wachstumsfaktor und Formeln

Eule12 aktiv_icon

21:37 Uhr, 11.03.2014

Ein Anfangsbestand von $2000$ Bakterien wächst innerhalb von 4 Tagen auf $13107$ Bakterien an.
$a)$ Bestimme den Wachstumsfaktor!
b)Gib eine rekursive und eine explizite Formel an!
$c)$ Wie groß ist der Bestand nach einer Woche bzw. nach $11$ Tagen?

Hier habe ich leider keine Idee! Aufgabe a kann man sicherlich über die Verhältnisgleichung lösen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Ma-Ma aktiv_icon

22:06 Uhr, 11.03.2014

Ich nehme an, Ihr behandelt gerade exponentielles Wachstum.
Denke mal nicht in Bakterien, sondern in EURO.

Startkapital $2000$
Nach 4 Jahren ist das Enkapital $13107$ .

Zinseszinsformel:
$K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}$

$n = 4$ Jahre
$K (n = 4) = 13107$
$K_{0} (n = 0) = 2000$

Wachstumsfaktor $q$ ermitteln.

So, und jetzt Du $... .$ .

Eule12 aktiv_icon

22:29 Uhr, 11.03.2014

zu $a)$ Als erstes habe ich in die Formel eingesetzt. So habe ich 13107=2000xq^4

Dann habe ich durch $2000$ geteilt wodurch ich $13107 : 2000 = q^{4}$ erhalte. Als letztes nehme ich die 4. Wurzel von $13107 : 2000$ und erhalte $1,5999$ (rund $1,6)$ als Wachstumsfaktor.

Ist dies so richtig?
Und wie geht es weiter mit $b$ und c?

Ma-Ma aktiv_icon

22:36 Uhr, 11.03.2014

JA, Du hast alles richtig gemacht.
Wachstumsfaktor $q = 1,6$
Das heisst pro Jahr wächst die Geldsumme um $60 %$ .
(Bei Bedarf schaue diesbezüglich noch mal auf die Formel vom Zinsfaktor.)

Bakterien:

Aufgabe $a)$
$c = a \cdot b^{x}$ .....(so oder ähnlich dürfte Eure Formel auch sein).
$13107 = 2000 \cdot b^{4}$
$b = 1,6$

$- - - - - - - - - - - - - - - - -$
Aufgabe $b)$
allg. Formel (explizit) $. .$ . jetzt nur einsetzen:
$c = 2000 \cdot {1,6}^{4}$

(Rekursiv machen wir später.)

$- - - - - - - - - - - - - - - -$

Aufgabe $c)$
Bestand nach 7 Tagen und Bestand nach $11$ Tagen ?

Eule12 aktiv_icon

22:42 Uhr, 11.03.2014

Für $b$ erst mal danke.

$c)$ Für 1 Woche habe ich mir gedacht das man ja in die 7 T&gae aufteilen müsste. So habe ich dann die Formel $c = 2000 x {1,6}^{7}$ . So komme ich dann auf $53687,09$ Bakterien.
Für die $11$ Tage das selbe. $c = 2000 x {1,6}^{11}$ . Da komm ich auf $351843,72$ Bakterien.

Ist dies richtig?

Ma-Ma aktiv_icon

22:45 Uhr, 11.03.2014

Fast.

Die Embryos (noch nicht fertige neue Bakterien) zählen wir nicht mit.

$x = 7 ... ... ...$ . $53687$ Bakterien
$x = 11 ... ... ...$ . $351843$ Bakterien

Eule12 aktiv_icon

22:48 Uhr, 11.03.2014

Ja stimmt. Kann man mir auch noch mit der rekursiven Formel helfen. Mit der komme ich noch nicht so richtig klar.

Ma-Ma aktiv_icon

23:06 Uhr, 11.03.2014

Die rekursive Formel muss man sich "zusammenbauen".
Ich fange wieder beim Beispiel mit Geld an.

Das Kapital vermehrt sich immer um die Zinsen.

$K_{0} = 2000$
$K_{1} = 3200$
$K_{2} = 5120$
$K_{3} = 8192$
$K_{4} = 13107$

Zinsformel (siehe Formelsammlung):
$Z = K \cdot \frac{p}{100}$

Hier:
$Z = K \cdot 0,6$

Für unser Beispiel:

$Z (0) =$ Zinsen NACH dem Jahr 0.

$K (4) = K_{0} + Z (0) + Z (1) + Z (2) + Z (3)$

$Z (0) = K_{0} \cdot 0,6$
$Z (1) = K_{1} \cdot 0,6$
$Z (2) = K_{2} \cdot 0,6$
usw. usf.

Desweiteren können wir $K_{1}$ auch so darstellen:
$Z (1) = (K_{0} \cdot {1,6}^{1}) \cdot 0,6$

$Z (2) = K_{1} \cdot 0,6$

$K_{1} = (K_{0} \cdot {1,6}^{1})$
$Z (2) = (K_{0} \cdot {1,6}^{1}) \cdot 0,6$

Wenn wir das bisherige zusammenfassen:
$K (3) = K_{0} + (K_{0} \cdot {1,6}^{0}) \cdot 0,6 + ... ... ...$ .
usw. usf.

Du kannst das anhand von einigen Jahren mach und dann ausklammern und eine allgemeine Formel aufstellen.

(Mir ist das jetzt zuviel Schreibarbeit. Probiers mal selber.)
LG Ma-Ma

Eule12 aktiv_icon

23:17 Uhr, 11.03.2014

Ich probiere morgen die Aufgabe bis zum Ende durch. Vielen Dank erstmal! Ich melde mich nochmal wenn etwas unklar bleibt.

Ma-Ma aktiv_icon

23:21 Uhr, 11.03.2014

Evtl. machst Du dazu nochmal einen neuen Thread auf. Dann gucken mehr Leute drauf.
(Im Internet gibt es zur Lösung auch noch Hinweise.)

Hast prima mitgearbeitet ! So macht es Spaß ! Gute Nacht.
LG Ma-Ma

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