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Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

qtynicole aktiv_icon

00:37 Uhr, 15.12.2013

Es handelt Sich um folgende Aufgabe :
Das Wachstum einer Pflanze kann in den ersten

30

Tagen durch Vorschrift

h (t)

-3.43(mm/wochen^3)*t^3+22,05(mm/Wochen^2)*t^2+0,7(mm/wochen)t
Beschrieben werden.

A)

bestimmen sie den Zeitpunkt zu dem die wachstumsgeschwindigkeit gleich groß ist wie am 3. Tag.

B)

bestimmen sie den Zeitpunkt der größten wachstumsgeschwindigkeit

Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll
Habe bisher mal dreimal abgeleitet und weiß, dass die erste Ableitung die Geschwindigkeit der Pflanze ist
Aber wie genau kann ich a und

b

lösen?

Bitte um Hilfe

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matze2021 aktiv_icon

00:50 Uhr, 15.12.2013

Hallo Nicole !

Einmal ableiten.

Dann den Wert für

t = 3

ermitteln. Dann eine Gerade mit

y =

diesem Wert ins Koordinatensystem legen und schauen, ob es einen weiteren Schnittpunkt gibt. Gibt es ihn ? Dann hast Du einen weiteren Termin gefunden, zu dem das Wachstum die gleiche Geschwindigkeit hat.

In Aufgabe

B

geht es darum, zu welchem Termin

t

die erste Ableitung ein Maximum hat. Wenn Du es mit dem GTR machst, dann einfach den maximalen

Y

Wert heraussuchen.

Von Hand: Nochmal ableiten, Null setzen. Dann nochmal ableiten und die gefundenen

t

dort eingeben. Ist der Wert dann kleiner Null, handelt es sich um das gesuchte Maximum.

Gruß Matze

qtynicole aktiv_icon

01:23 Uhr, 15.12.2013

Hey Matze
Ich versuchs morgen mal bzw später ;-)

t = 3

auch wenn

t

in Wochen angegeben wird ?
Dann wären es ja 3 Wochen und nicht am 3. Tag ?

Lg

Atlantik aktiv_icon

08:18 Uhr, 15.12.2013

B)

http//www.dieter-heidorn.de/Mathematik/RP_Analysis2/K2_Exponentialfunktionen/K9_Wachstum/K91_expWachs/K91_expWachs.html

"Die Ableitung

N' (t)

heißt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur zum Zeitpunkt

t

h (t) = - 3,43 t^{3} + 22,05 t^{2} + 0,7 t

wobei

(t

in Wochen)

h

(t) = - 10.92 \cdot t^{2} + 44.1 \cdot t + 0.7

h

(1) = - 10.92 + 44.1 + 0,7 = 33,88

h

(2) = - 10.92 \cdot 4 + 44.1 \cdot 2 + 0.7 = 45,22

h

(3) = - 10.92 \cdot 9 + 44.1 \cdot 3 + 0.7 = 34,72

h

(4) = - 10.92 \cdot 16 + 44.1 \cdot 4 + 0.7 = 2.38

h

´ ( ?

) = - 10.92 \cdot

^2 + 44.1 \cdot

+ 0.7 = 0

Wenn du nun

h

(t) = 0

berechnest:

- 10.92 \cdot t^{2} + 44.1 \cdot t + 0.7 = 0 \to t_{2}

einen Minuswert .

t_{1} = 4,05427

h

(4.05427) = - 10.92 \cdot 4 . 05427^{2} + 44.1 \cdot 4.05427 + 0.7 \approx 0,0001

Somit kann hier nicht das Maximum der Wachstumsgeschwindigkeit liegen.

Das Maximum der Wachstumsgeschwindigkeit bekommst du mit

h

´ ´

(t) = 0,

also mit der Berechnung des Wendepunktes.

h

´´

(t) = - 21,84 t + 44,1

- 21,84 t + 44,1 = 0

t = \frac{44,1}{21,84} \approx 2,02

A)

Hier musst du mit 1 Tag

= \frac{1}{7}

Woche rechnen.

mfG

Atlantik

(irgendwo steckt ein Rechenfehler!!)

qtynicole aktiv_icon

13:11 Uhr, 15.12.2013

Habe nun für

a)

Die Höhe am 3. Tag sind

4,08

mm
Wie kann ich jetzt berechnen wann die wachstumsgeschwindigkeit gleich groß ist wie am 3. Tag?

Matze2021 aktiv_icon

14:01 Uhr, 15.12.2013

Hallo Nicole !

Ich würde die Gerade

y = 4,08

mit der Ableitung der Wachstumsfunktion schneiden. Unter Wachstumsfunktion verstehe ich diejenige Funktion, die Dir in der Aufgabe gegeben wurde und aus der sich zu jedem Zeitpunkt

t

die GESAMTHÖHE der Planze ablesen lässt.

Dann ist nämlich die erste Ableitung die Änderungsrate, also die Wachstumsgeschwindigkeit. Und diese würde ich mit der Geraden

Y = 4.08

schneiden und schauen, ob es einen zweiten Schnittpunkt gibt. Wenn ja, dann hat die Pflanze genau bei diesem zweiten

t

die gleiche Wachstumsgeschwindigkeit.

Jetzt aber noch vorsicht, bei der ganzen Geschichte:

Wenn wir Wochen auf der

t -

Achse (also herkömmlich x-Achse) haben, und ich werde nach einem Wochenwert gefragt, dann ist das streng genommen so, dass ich immer einen Wert für einen ZEITRAUM und eben nicht für einen ZEITPUNKT suche.

Hier haben übrigens die Lehrer auch ihre Probleme. Ich hatte mit meiner Mathelehrerin damals an dieser Stelle genug Auseinandersetzungen. Unterrichtsaufschriebe zeigen übrigens, wie der Lehrer denkt - also wie er mit dieser Frage umgeht. Es bringt ja nichts, wenn man Recht hat, aber der Lehrer es nicht anerkennt, weil er ansonsten einen fehlerhaften Unterricht eingestehen würde.

Deshalb: Prüfe, ob wir Zeitpunkte oder Zeiträume betrachten müssen/sollen.

Gruß Matze

qtynicole aktiv_icon

16:54 Uhr, 15.12.2013

Ja die Professorin hat ZEITPUNKT in der Aufgabenstellung stehen :-)
echt bisschen blöd die Aufgabe :-)

liebste grüße

qtynicole aktiv_icon

16:56 Uhr, 15.12.2013

weiß nicht genau, wie ich das gleichsetzen soll

\frac{:}{}

Ma-Ma aktiv_icon

17:21 Uhr, 15.12.2013

Ich würde bei der Ausgangsgleichung ansetzen.
Ersetze die Woche mit 7 Tage, löse auf und es entsteht eine schöne Funktion

. .

h (t) = - 0,01

(mm

/ d^{3}) \cdot t^{3} + ... ...

. usw. usf. ( Tag

= d)

qtynicole aktiv_icon

17:27 Uhr, 15.12.2013

naja gut.. nur weil ich jetzt tage und wochen anders ausdrücke, weiß ich dennoch nicht mehr :-D)

qtynicole aktiv_icon

17:27 Uhr, 15.12.2013

naja gut.. nur weil ich jetzt tage und wochen anders ausdrücke, weiß ich dennoch nicht mehr :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

17:30 Uhr, 15.12.2013

h (t) = . .

. ?

Der Rest steht doch schon oben

. .

h (t) =

Funktion für die Höhe

h' (t) =

Funktion der Wachstumsgeschwindigkeit

h' (t) = ...

. ?

h' (3) = ...

. ?

qtynicole aktiv_icon

17:32 Uhr, 15.12.2013

naja gut :-) dann habe ich ja alles bisher..

danke

Ma-Ma aktiv_icon

17:34 Uhr, 15.12.2013

Also die "umgebaute" Funktion nutzen.

1)

Wie lautet

h (t)

2)

Wie lautet

h' (t)

3)

was ist

h' (3)

.

Erst wenn Du das hast, dann können wir die Aufgabe zu Ende lösen.

qtynicole aktiv_icon

17:44 Uhr, 15.12.2013

h (t) =

-3,43

[

mm/1/7]³]t³+22,05 [mm/1/7²]t²+0,7[mm/1/7]*t
in Tag umgerechnet anstatt wochen (wurde oben da bereits gesagt)

h' (t) =

-10,92t²+44,1t+0,7

h (3) = 4,08

Ma-Ma aktiv_icon

17:51 Uhr, 15.12.2013

Wir reden noch ein wenig aneinander vorbei.

Erster Term in der Funktionsgleichung

- 3,43

[

mm /(Woche)^3]

= - 3,43

[

/ (7

Tage)^3

] = - 3,43

[

/ ((7^{3})

Tage^3)

= - 3,34

/ (343

Tage^3)

= - 0,01

mm / (Tage^3)

- - - - - - - - - - - - -

Vereinfacht geschrieben ohne Maßeinheiten:

- \frac{3,43}{7^{3}} = - \frac{3,43}{343} = - 0,01

Ma-Ma aktiv_icon

18:06 Uhr, 15.12.2013

Wenn Du die Aufgabe zeitnah zu Ende rechnen möchtest, dann antworte bitte auch zeitnah.
Den 2. und 3. Term ebenso behandeln. (Das ist doch in

1 min

erledigt.)

h (t) = - 0,01 \cdot t^{3} + ... . .

. ?

Ma-Ma aktiv_icon

18:21 Uhr, 15.12.2013

Wo ist Dein Problem ?

Matze2021 aktiv_icon

18:47 Uhr, 15.12.2013

Liebe Nicole !

Ich glaube, Du solltest über das Problem mit Zeitpunkt und Zeitraum mit Deiner Professorin sprechen. Die Aufgabe lautet ja folgendermaßen:

"Das Wachstum einer Pflanze kann in den ersten

30

Tagen durch Vorschrift

h (t)

-3.43(mm/wochen^3)*t^3+22,05(mm/Wochen^2)*t^2+0,7(mm/wochen)t
Beschrieben werden.

A)

bestimmen sie den Zeitpunkt zu dem die wachstumsgeschwindigkeit gleich groß ist wie am 3. Tag.

B)

bestimmen sie den Zeitpunkt der größten wachstumsgeschwindigkeit"

Das heißt doch, dass die X-Achse die t-Achse ist. Dabei steht

1 t

für einen Tag. Also ist im Achsenkreuz Zeitpunkt 0. Oder anders ausgedrückt: Wachstumsbeginn. Bei

t = 1

ist genau ein Tag vergangen. Das sind

24

Stunden oder

24 \cdot 60

Min oder

24 \cdot 60 \cdot 60

Sekunden.

Wenn ich jetzt frage, wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit so groß wie am dritten Tag ist....Was bedeutet das ? Der dritte Tag ist doch genau die Zeitspanne von

t = 2

bis

t = 3

. Und das ist kein Zeitpunkt sondern eine Zeitspanne.

Erinnere Deine Professorin ggf. im Gespräch daran, dass die Zeit nichts anderes als ein Abzählen ist. Uhrzeiten, Kalendertage sind Zählergebnisse (Prof Taschner, TU Wien).

Was heißt denn jetzt eigentlich "am dritten Tag" ? Ist das bei

t = 2 (

da endet gerade der zweite Tag

),

oder ist das bei

t = 3

(da endet gerade der dritte Tag) oder ist das bei

t = 2,5 (

da ist es am dritten Tag genau

12

Uhr ) oder ist damit der Mittelwert des Integrals von

t = 2

bis

t = 3

gemeint ?

Sprech mit ihr, es lohnt sich. Über so etwas muss man reden.

Gruß Matze

Ma-Ma aktiv_icon

18:59 Uhr, 15.12.2013

HAllo Matze, ich stimme Dir voll zu. Die Aufgabenstellung ist schwammig.
Genau dieselben Aufgaben sind übrigens Schulstoff

11

. Klasse, allerdings wird dort meist präziser formuliert.

Wenn wir annehmen, dass

t = 3

eingesetzt werden darf und die Umformung der Funktion auf Tage erfolgt, so läuft

a)

auf eine quadratische Gleichung raus, die ja locker mit der pq-Formel gelöst werden kann und es kommen 3 schöne glatte Werte raus.

Mal sehen, ob nicole überhaupt noch Interesse an dieser Aufgabe hat.
LG MA-MA

Ich hoffe nur, nicht irgendein sich "beweisen wollender", nach dem Motto "ICH kann es" nimmt ihr die Denkarbeit ab. Selber denken ist immer besser, als nur die Lösung abschreiben

. .

Matze2021 aktiv_icon

19:10 Uhr, 15.12.2013

Die Idee des Vorrechnens finde ich nicht so schlecht, weil man dann sagen muss, welche Gedanken man angestellt hat und warum.

Dadurch lernt der dem vorgerrechnet wurde, dass man auch in der Mathematik denken kann, wie man es beim sprechen tut :-)

Gruß Matze

Ma-Ma aktiv_icon

19:41 Uhr, 15.12.2013

Vorrechnen bis zu einem bestimmten Grad ist gut und erklärend. Finde ich auch.
Hilfreich sind sind vor allem die Ansätze (finde ich).

Wenn Du sagst, bilde 1. Ableitung und setze diese

= 0,

so sollte ein Student in der Lage sein, Deine Worte zu verstehen und dies für elementare Funktionen auch umsetzen können.

Das Gleiche gilt, wenn eine quadratische Form rauskommt und man gibt den Hinweis, die pq-Formel zu verwenden.

Zum Beispiel komplett einfache Ableitungen vorrechnen oder die pq-Formel aufzulösen, halte ich bei Studenten nicht für notwendig. Da wird dann nur die Lösung abgeschrieben und nichts mehr selber gemacht.

LG Ma-Ma

Matze2021 aktiv_icon

19:54 Uhr, 15.12.2013

In der heutigen Zeit ist es so, dass durch die GTR Verwendung im Unterricht eigentlich kaum noch etwas von Hand gerechnet wird. Daher kommt das, dass die Universitäten im Erstsemester vom Schweierigkeitsgrad her kaum mehr erwarten können, als eine Schule in der

13

. Inhaltlich gibt es sicher Unterschiede.

Ich bin deswegen da auch nicht so streng wie Du...und bei diesen Aufgaben speziell liegt ja das Problem weniger an der Studentein, als vielmehr daran, dass ein Zeitpunkt verlangt wird aber von Zeitspannen geredet wird. Das ist mies und total unmathematisch.

Gruß Matze

Matze2021 aktiv_icon

19:54 Uhr, 15.12.2013

13

qtynicole aktiv_icon

12:02 Uhr, 16.12.2013

Sorry, konnte nicht früher zurückschreiben :-)
naja einen Taschenrechner dürfen wir sowieso nicht benutzen..
Evtl Zuhause, aber einen graphischen Taschenrechner habe ich nicht.

Hab jtezt für

h (t) = - 0,01

mm/d³

+ 0,45

mm/d² +0,1mm/d

so solllte ich es ja machen oder?

LG

qtynicole aktiv_icon

12:06 Uhr, 16.12.2013

wenn ich hier aber 3 für

t

einsetze
bekomme ich

0,08

mm raus für den 3. tag

davor hatte ich aber 4,08mm am 3.Tag

Ma-Ma aktiv_icon

14:35 Uhr, 16.12.2013

Jepp ! # Zusatz: Beim letzten Term fehlt noch das

t

. #

h (t) = - 0,01 t^{3} + 0,45 t^{2} + 0,1 t

.............# KORREKTUR #
Das ist die Funktion für die HÖHE der Pflanze.

Nun die 1. Ableitung bilden

\to

WACHSTUMSGESCHWINDIGKEIT
Auch wenn Aufgabenstellung nicht ganz sauber definiert, so gehe wie folgt vor:

Wachstumsgeschwindigkeit bei

t = 3

h' (t = 3) = ... .

. ?

(Vergleich: Sollte

2,53

rauskommen.)

- - - - - - - - - -

FRage ist nun, bei welchem weiteren

t

kommt auch

2,53

raus ?

Setze

h' (t) = 2,53

und ermittle

t

(Wird eine quadratische Gleichung.)

2,53 = (...

. und hier steht dann die 1. Ableitung

...)

LG Ma-Ma

qtynicole aktiv_icon

15:16 Uhr, 16.12.2013

1.Abl:
-0,03t²+0,9t+0,1

wenn ich es gleichsetze:
-0,03t²+0,9t

= 2,43

wie kann ich das denn weitermachen?

Ma-Ma aktiv_icon

16:05 Uhr, 16.12.2013

h' (t = 3) = 2,53

2,53 = - 0,03 t^{2} + 0,9 t + 0,1

Nun die

2,53

auf die rechte Seite.

0 = - 0,03 t^{2} + 0,9 t - 2,43

\to

Quadratische Gleichung (jetzt erinnere Dich an Klasse 9 und

10 . .

. Lösen quadratischer Gleichungen)

qtynicole aktiv_icon

16:13 Uhr, 16.12.2013

PQ Formel :-D)

Danke sehr für deine Hilfe!!!!

Ma-Ma aktiv_icon

17:28 Uhr, 16.12.2013

Was hast Du raus ?

t_{1} = 3

t_{2} = . .

. ?

1133866

1133403

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