Wachstumsgesetz

also die frage lautet:

einem kapital von 5000 € werden am ende eines jeden jahres bei einem zinssatz von 5 % die zinsen gutgeschrieben.

a) stellen sie das wachstumsgesetz auf (zeit in jahren).

b) auf welchen betrag ist das kapital nach 4 (7 bzw 9) jahren angestiegen?

c)nach wie vielen jahren hat sich das kapital verdoppelt?

d) nach wie vielen jahren hat sich das kapital verdreifacht?

hoffe ihr könnt mir schnell helfen!!  lg und danke

Es ist ein exponentielles Wachstum

B(X) = B(0) * 1,05^X

X sind die Anzahl der Jahre

B(0), ist der Bestand zum Zeitpunkt 0

1,05 , da es jedes jahr um 5% zunimmt

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a)

B(X) = 5000*1,05^x

b)

einfach die die gesuchten Jahresangaben in X eintragen und den bestand zum Zeitpunkt X ausrechnen

c)

5000*2 = 5000*1,05^x

Bestand hat sicht verdoppelt deshalb 5000 * 2 

d)

das selbe nur * 3

5000*3 = 5000*1,05^x

Hallo Susann,

zu a)

das Wachstumsgesetz erhälst Du durch einfache Zinseszinsrechnung:

Nach dem ersten Jahr : 5000     +   5000*0,05=         5000 *1,05 

                                 Kapital           Zinsen          

Am Ende des zweiten Jahres : 5000(1,05)    +   5000(1,05)(0,05) =  5000*1,05²

                                         Wert nach 1.Jahr           Zinsen

Die Reihe lässt sich beliebig fortsetzen. Betrachtest Du noch einmal die Werte 

1.Jahr: 5000*1,05

2.Jahr: 5000*1,05²

...

wird deutlich, dass in jedem Jahr das Kapital um den Faktor 1,05 ansteigt.

Das Wachstumsgestz lautet dann:

K(t)=5000*1,05^t mit K(t) als Kapital nach dem t-ten Jahr.

zu b)

Um also den Betrag nach 4 ( 7 bzw.9 )  Jahren zu ermitteln, setze für t nacheinander 4,7 und  9 ein.

K(4)=5000*1,05^4  ca. 6077,53

zu c)

Die Frage ist nach wie vielen Jahren der Betrag auf 10000 angewachsen ist und 

zu lösen ist  also die Gleichung 5000*1,05^x=10000 mit x als gesuchte Anzahl an Jahren.

5000*1,05^x=10000

1,05^x=2

Hier musst Du Logarithmieren:

log von 2 zur Basis 1,05 und das entspricht ln(2)/ln(1,05) ca. 14,2 (ln=natürlicher Logarithmus)

Eine Verdopplung des Kapitals erfolgt also erst im 15. Jahr

zu d) 

Lösung analog zu c)

und was ist in deinem Post anderst?

Außer das du jede Aufgabe ausgerechnet hast?

vielen lieben dank für die hilfe