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Wachstumsmodell

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Gebrochene Exponentialfunktion, Wachstumsmodell

Ulqiorra aktiv_icon

21:06 Uhr, 12.06.2010

Hallo alle zusammen,

ich habe von den

100

benötigten Punkten im Abitur bloß

97

erreicht, und muss Mittwoch deshalb in die Existenzprüfung. Ich sitze schon stundenlang zuhause und lerne wie bekloppt, scheitere aber an einer meiner Meinung nach einfachen Aufgabe.

Aufgabe:
Nach einem Wachstumsmodell kann die Höhe von Kresse durch die Funktion

f

mit

f (t) =

9/(1+8*e^(hoch)-t)

(t

in tagen;

f (t)

in cm) beschrieben werden.

a)

Wie hoch war die Kresse zu Beginn der Beobachtung?
Hier habe ich einfach

f (o)

berechnet und 1

[

cm] erhalten. Das war also nicht das Problem.

b)

Wann war die Kresse 7,5cm hoch?
Hier habe ich mir gedacht, dass ich für

f (t)

einfach die 7,5cm einsetzte und nach

t

auflöse, nur glaube ich ist dieser Ansatz falsch, da wenn ich versuche

t

auszurechnen irgendwie zu keinem Ergebnis komme.

c)

Wann wächst die Kresse nach diesem Modell am schnellsten und wie schnell wächst sie dann?
Hier denke ich ist nach dem Maximum gefragt, nur bekomme ich auch das nicht wirklich ausgerechnet. Die 1. und 2. Ableitung habe ich, nur komme ich dann schon mit der notwendigen Bedingung nicht mehr weiter.

d)

Wie hoch kann die Kresse nach diesem Modell höchstens werden?
Absolut keine Ahnung wie man das lösen soll.

Bitte helft mir. Danke schonmal im vorraus. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CRS-55 aktiv_icon

21:53 Uhr, 12.06.2010

Hallo!

gleich zu b)

Dein Ansatz ist richtig; Es muss gleich 7,5 gesetzt werden um t zu ermitteln:

$\begin{array}{l} f (t) = 7, 5 \\ \frac{9}{1 + 8 * e^{- t}} = 7, 5 \\ 8 * e^{- t} = \frac{9}{7, 5} - 1 \\ e^{- t} = \frac{9}{7, 5 * 8} - \frac{1}{8} \\ t = - \ln (\frac{9}{7, 5 * 8} - \frac{1}{8}) < - L a g e s v i e l l e i c h t a n d i e s e m S c h r i t t ? \\ t \approx 3, 68 \end{array}$

zu c)

Hier ist nach dem Zeitpunkt der größten Steigung gefragt. Die 1. Ableitung gibt die jeweilige Steigung des Graphen an. Um nun die maximale Steigung zu ermitteln brauchst du folglich die 2. Ableitung. Bei der Nullstelle dieser Funktion ist dann ein Extremum der Steigung des ursprünglichen Graphen.

zu d)

Hier geht es um einen Grenzwert. Was passiert im Unendlichen? Wird sich der Graph einem festen Wert annähren oder steigt er unaufhörlich?

$\lim_{t \to \infty} \frac{9}{1 + 8 * e^{- t}}$

Vielleicht versuchst du es einfach nochmal, ansonsten weiterfragen ^^

edit: Es lohnt sich sicher auch mal den Graphen zu plotten, siehe Zeichnung.

Man ... die online-version von Geogebra is ja mal sowas von verbuggt ...

Ulqiorra aktiv_icon

22:09 Uhr, 12.06.2010

Vielen dank,

b)

ist gelöst, hatte einen kleinen Rechenfehler eingebaut und kam deshalb zu keinem vernünftigen Ergebnis.

t = 3,69

kann ich bestätigen.

den Ansatz für

c)

verstehe ich nicht so recht, da ich diesen irgendwie nicht umsetzen kann. Kannst du mir diesen vielleicht nochmal in anderen Worten erläutern?

Aufgabe

d)

ist verstanden und gelöst, habe da einen wert von 9 raus, was wiederrum heisst das die Kresse nach diesem Modell höchstens 9 cm wachsen kann.

nur

c)

bereitet mir wie gesagt noch Schwierigkeiten.
auch hier schon mal vielen dank im vorraus. :-)

CRS-55 aktiv_icon

14:44 Uhr, 13.06.2010

Okay, nochmal zur c)

Ich habe die 3 Graphen der Funktion, der 1. sowie der 2. Ableitung mal geplottet und reingestellt (als Bild, da die online-Funktion irgendwie nicht richtig läuft ...)!

Gesucht ist der Zeitpunkt des "schnellsten Wachstums", also die Stelle an der der Graph von f(t) seine größte Steigung besitzt. Wenn du dir den schwarzen Graphen ansiehst kannst du diesen Zeitpunkt grob etwa bei t=2 festmachen.

Zur genauen Berechnung des Punktes benötigst du nun zuerst einmal die 1. Ableitung (blau), die jedem Punkt von Gf(t) seine momentane Steigung zuordnet! An der Stelle an der der Graph der 1. Ableitung seinen höchsten Wert einnimmt ist folglich der Zeitpunkt des größten Wachstums von Gf(t) (, also auch der der Kresse).

Um nun den Hochpunkt des Graphen der 1. Ableitung zu bestimmen, benötigt man wiederum dessen Ableitung. Diese (auf g(t) bezogen 2. Ableitung) liefert nun die Momentansteigungen der 1. Ableitung (auf g(t) bezogen). Da die Momentansteigung in einem Extrempunkt immer gleich null ist, hat der Graph der ersten Ableitung genau an der Stelle einen Extrempunkt (hier Hochpunkt) an der die 2. Ableitung (Graph: rot) gleich null ist.

Zusammenfassend:

Punkt maximaler Steigung in f(t) (schwarz)

entspricht Hochpunkt in f'(t) (blau)

entspricht Nullstelle in f''(t) (rot)

Um die Aufgabe zu lösen musst du also die 2. Ableitung von f(t) gleich null setzten und t ermitteln!

Hier nochmal die Ableitungen:

$\begin{array}{l} f (t) = \frac{9}{1 + 8 * e^{- t}} \\ f^{'} (t) = 72 * \frac{e^{t}}{{(e^{t} + 8)}^{2}} \\ f^{''} (t) = - 72 * (e^{t} - 8) * \frac{e^{t}}{{(e^{t} + 8)}^{3}} \end{array}$

Hoffe jetzt klappt's ^^

Ulqiorra aktiv_icon

16:33 Uhr, 14.06.2010

Vielen dank :-) habs gelöst und verstanden :-)

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