Wahl der Integrationsgrenzen bei mehrdimensionaler

Hallo,
Ich versuche gerade ein Fl‰chenintegral zu berechnen. Genauer gesagt habe ich eine beschr‰nkte, offene Menge im ${\displaystyle {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ und eine Funktion und ich mˆchte die Funktion ¸ber die Menge integrieren.
Mein Problem ist dabei die Wahl der Integrationsgrenzen.

Die Aufgabe ist die Folgende:
Sei $\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left\{\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\in {\displaystyle {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2|0<\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},1<\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<2\}}$

Berechnen Sie $\int \frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})$

Ich habe diese Aufgabe bereits schonmal mit dem Transformationssatz gerechnet und kenne daher das Ergebnis. Jetzt möchte ich sie aber ohne Transformation rechnen und dafür entsprechend geeignete Integrationsgrenzen wählen.

Die Menge ist der in dem Graphen grau dargestellte Bereich

Ich sehe aus der Definition der Menge D, dass 1-x < y < 2-x ist. Das wähle ich daher als Grenzen für meine erste Integration.

Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich die Grenze für die Integration über x wählen soll. Die Darstellung der Menge lässt erstmal vermuten, dass man x von 1 bis 2 laufen lassen muss. Aber so ganz kann das nicht sein, weil die Menge ja auch den Punkt (0.5 , 0.5) einspannt.

Hat jemand einen Tipp für mich?

Gruß,

Lucas