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Wahlumfrage Binomialmodell

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialverteilung

pivot aktiv_icon

19:36 Uhr, 06.03.2025

Hallo,

in einer Gemeinde mit 1000 Wahlberechtigten wird ein Bürgermeister gewählt, mit zwei Kandidaten. Die Vorwahlbefragung ergibt folgendes Bild:

300 für Kandidat A, 300 für Kandidat B und 400 sind unentschieden. Das amtliche Wahlergebnis ist dann 550 für Kandidat A und 450 für Kandidat B.

Nach 5 Jahren wird wieder gewählt. Die Vorwahlumfragen ergeben folgendes:
350 für Kandidat A, 250 für Kandidat B und 400 sind unentschieden.

Um jetzt eine Prognose für das Wahlergebnis zu erstellen, kann man das Binomialmodell verwenden. Dabei wird für den einzelnen unentschiedenen Wähler eine Wahrscheinlichkeit für die Wahl für Kandidat A (

p

) oder Kandidat B (

1 - p

) angenommen. Hier gäbe es unterschiedliche Möglichkeiten:

1. Wahlausgang der letzten Wahl:

p = 55 %; 1 - p = 45 %

2. Anteil der Unentschiedenen die sich in der letzten Wahl für den jeweiligen Kandidaten entschieden haben:

p = \frac{550 - 300}{400} = 62, 5 %; 1 - p = 37, 5 %

3. Die Vorwahlumfrage der aktuellen Wahl:

p = \frac{350}{600} = 58, 33 %; 1 - p = \frac{250}{600} = 41, 67 %

Welcher Wert für die Einzelwahrscheinlichkeit

p

wäre hier die sinnvollste Annahme?
Danke im Voraus für das Durchlesen der Frage.

Gruß
pivot

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

KL700 aktiv_icon

07:00 Uhr, 07.03.2025

KI, falls hier verlässlich, bestätigt dein Ergebnis:

Bei der Wahl der Einzelwahrscheinlichkeit pp gibt es unterschiedliche Ansätze, die jeweils auf verschiedenen Informationen basieren. Alle drei Optionen, die du genannt hast, sind sinnvolle Annahmen, hängen jedoch von den zugrundeliegenden Überlegungen und der Gewichtung verschiedener Faktoren ab. Schauen wir uns jede der drei Methoden genauer an:
1. Wahlausgang der letzten Wahl

(p = 55 %; 1

−

p = 45 %)

Diese Methode verwendet den Wahlausgang der letzten Wahl als Referenz. Es wird davon ausgegangen, dass das Wahlverhalten in der aktuellen Wahl ähnlich wie in der letzten Wahl ist. Dies könnte sinnvoll sein, wenn man annimmt, dass das Wahlverhalten über die Zeit relativ stabil bleibt und dass keine großen Veränderungen in den politischen Umständen oder den Kandidaten stattgefunden haben.
2. Anteil der Unentschiedenen bei der letzten Wahl

(p = 62,5 %; 1

−

p = 37,5 %)

Dieser Ansatz berücksichtigt, wie sich die unentschiedenen Wähler bei der letzten Wahl entschieden haben. Es setzt voraus, dass das Verhalten der Unentschlossenen in der aktuellen Wahl ähnlich wie bei der letzten Wahl sein wird. Das bedeutet, dass sich die unentschiedenen Wähler in ähnlichem Maße für Kandidat A und

B

entscheiden wie in der letzten Wahl. Diese Annahme könnte sinnvoll sein, wenn man erwartet, dass das Verhalten der Unentschiedenen stabil bleibt und sich an vergangenem Verhalten orientiert.
3. Vorwahlumfrage der aktuellen Wahl

(p = 58,33 %; 1

−

p = 41,67 %)

HAL9000

11:16 Uhr, 07.03.2025

Zumindest Modell 3 könnte man ja auch testweise auf die erste Wahl anwenden - und da war es bezogen auf das letztendliche Wahlergebnis dort nicht sonderlich gut.

P.S.: Egal welches Modell man nimmt (vielleicht auch ein Mix davon), Kandidat A wird ziemlich sicher gewinnen.

Eine interessantere Konstellation hätte man sich bei einem Umfrageergebnis von z.B. 280 Stimmen für A und 320 für B, dann unterscheiden sich die drei Modelle erheblich was das prognostizierte Endergebnis betrifft. ;-)

KL700 aktiv_icon

12:32 Uhr, 07.03.2025

Am Rande:

Die Sache scheint komplex zu sein:
de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4hlerstromanalyse

Weil mich die Sache schon früher genauer interessiert hat, habe ich ein wenig recherchiert.
Bei großen Grundgesamtheiten ist mit diesen Problemen zu rechnen:

Die Messung der Wählerwanderung (auch Wählerströme genannt) ist ein komplexer Prozess, der darauf abzielt, herauszufinden, wie sich das Wahlverhalten der Wähler zwischen verschiedenen Wahlen verändert hat. Dies ist besonders wichtig für politische Analysen, um zu verstehen, welche Parteien Stimmen gewinnen oder verlieren und warum.
1. Wählerumfragen und

E ξ t

Polls

Ein häufig verwendetes Instrument zur Messung der Wählerwanderung sind Wählerumfragen und

E ξ t

Polls. Hierbei wird nach der Wahl eine Umfrage durchgeführt, bei der Wähler gefragt werden, welche Partei sie gewählt haben und ob sie bei der letzten Wahl die gleiche Partei gewählt haben.

E ξ t

Polls werden direkt am Wahltag durchgeführt, um sofortige Einsichten zu erhalten.

Wie funktioniert es?
Eine Stichprobe von Wählern wird befragt, ob sie bei der aktuellen Wahl die gleiche Partei gewählt haben wie bei der letzten Wahl.
Auf diese Weise lässt sich feststellen, welche Parteien von den ehemaligen Wählern einer anderen Partei oder von Nichtwählern Stimmen erhalten haben.

Vorteile:
Relativ direkt und schnell verfügbar.
Gibt schnelle, wenn auch oft ungenaue Einblicke.

Nachteile:
Menschen erinnern sich nicht immer genau an ihre Wahlentscheidungen (was zu Verzerrungen führen kann).
Nur die Wähler, die tatsächlich an der Wahl teilnehmen, können befragt werden.

2. Vergleich von Wählergebiets- und Wahlkreisanalysen

Die Wählerwanderung kann auch durch die Analyse von Wahlkreis-Ergebnissen zwischen den Wahlen und durch den Vergleich der Wahlbeteiligung in verschiedenen Gebieten gemessen werden.

Wie funktioniert es?
Man vergleicht, wie sich die Wahlergebnisse in verschiedenen Wahlkreisen oder Regionen über die Zeit verändern.
Hierbei wird ermittelt, in welchen geographischen Gebieten eine Partei oder ein Kandidat im Vergleich zur letzten Wahl besonders gewonnen oder verloren hat.
Vorteile:
Bietet Einsicht auf regionaler Ebene.
Nachteile:
Die genauen Gründe für diese Veränderungen bleiben oft vage, und es ist schwierig zu bestimmen, ob diese Veränderungen auf eine Verschiebung innerhalb einer Partei oder auf eine Verschiebung von einer Partei zu einer anderen zurückzuführen sind.

3. Längsschnittdaten und Wählerpanelstudien

Längsschnittstudien und Wählerpanels sind ebenfalls gängige Methoden zur Messung der Wählerwanderung. Bei diesen Studien wird eine Gruppe von Wählern über einen längeren Zeitraum hinweg regelmäßig befragt.

Wie funktioniert es?
Eine Stichprobe von Wählern wird über mehrere Jahre hinweg immer wieder zu ihren Wahlentscheidungen befragt. Diese Methode bietet detaillierte Einblicke in die Veränderungen des Wahlverhaltens eines einzelnen Wählers.
Vorteile:
Bietet präzise Informationen über das langfristige Verhalten der gleichen Wähler.
Nachteile:
Sehr ressourcenintensiv und teuer.
Es können Verzerrungen auftreten, da nicht alle Wähler über die Jahre hinweg gleichbleiben.

4. Modellierte Berechnungen und statistische Verfahren

Es gibt auch statistische Modelle und Rechenmethoden, um Wählerwanderung zu schätzen. Diese basieren oft auf mathematischen Modellen, die verschiedene Faktoren wie historische Wahlergebnisse, demografische Daten und Umfrageergebnisse berücksichtigen.

Wie funktioniert es?
Es wird ein Modell erstellt, das die Wahrscheinlichkeit der Wahlentscheidung eines Wählers auf der Basis vergangener Wahlen und anderer Variablen berechnet.
Diese Modelle werden dann verwendet, um zu schätzen, wie Wähler zwischen den Parteien „gewandert“ sind.

Vorteile:
Bietet detaillierte und fundierte Einblicke.

Nachteile:
Die Genauigkeit hängt von den Daten und Annahmen ab, die in das Modell eingehen.
Es ist oft sehr schwierig, präzise Wählerwanderung ohne empirische Daten direkt zu messen.

Fazit:

Die Wählerwanderung wird hauptsächlich durch Umfragen und statistische Modelle geschätzt. Es ist jedoch nie eine exakte Wissenschaft, da die genauen Bewegungen der Wähler nur schwer direkt beobachtet werden können. Aber durch eine Kombination dieser Methoden

(E ξ t

Polls, Wählerumfragen, statistische Modelle und geographische Wahlanalysen) kann man relativ präzise Prognosen und

pivot aktiv_icon

18:47 Uhr, 07.03.2025

Danke KL700

Es ist schon faszinierend wie gut die Antworten von chatgpt (geworden) sind. Da gibt es allein in den letzten Monaten eine rasante Entwicklung. Auch Rechenaufgaben sind oft sehr gut gelöst. Es macht natürlich auch Fehler, aber die machen Menschen auch.
Man kann mit chatgpt sogar diskutieren und kommt am Ende eigentlich immer zu einem guten Ergebnis. Als Probe habe ich dann mal einfach eine Gegenposition eingenommen und versucht chatgpt dahinzuleiten. Es ließ sich zumindest auf diese Weise nicht manipulieren.
Ich habe das Gefühl das man viele Themen besser mit chatgpt erörtern kann als in den sozialen Medien. Aber es bleibt das Problem: Auch chatgpt kann mittels Programmierung und zugrunde liegender Datenbasis beeinflusst werden. Aber die Antwort die du gepostet hast war auf jeden Fall schon mal gut. Der Artikel von Wiki zeigt dann nochmal die Komplexität der Frage.

Danke Hal
Absolut richtig. Ich habe mir die Daten auch ein bisschen zurechtgelegt. Insofern war die Frage an sich schon etwas manipulativ.

Gruß
pivot

Miyagi aktiv_icon

23:25 Uhr, 11.03.2025

Hi kann irgendwie keine neue Frage eröffnen aber hab hier zu dem Thema eine Klausuraufgabe und ich schaffe einfach nicht und weiß nicht ob meine Lösung richtig ist.

Entwickeln Sie den Ausdruck (Entwickeln Sie den Ausdruck

{(\frac{1}{3} x - 2)}^{9}

aufsteigend bis zum vierten Summanden unter Anwendung des Binoimalsatzes. Bestimmen sie somit die Koeffizienten,

r, s, t

und

u

in folgendem Ausdruck

{(\frac{1}{3} x - 2)}^{9} =

r+sx+tx^2+ux^3

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00:07 Uhr, 12.03.2025

Hallo,

der binomische Lehrsatz ist

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k}

Mit deinen Werten

x = - 2, y = \frac{1}{3} x

und

n = 9

= \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix}) {(- 2)}^{9 - k} {(\frac{1}{3} x)}^{k}

Nun die 4 ersten Summanden berechnen. Der erste Summand

(k = 0)

ist

1 \cdot (- 2)^{9} \cdot 1 = - 2^{9} = - 512

. Also ist

r = - 512 .

Nun noch die drei weiteren Summanden berechnen. Der nächste Summand hat ein einfaches

x

, danach

x^{2}

Gruß
pivot

Miyagi aktiv_icon

22:59 Uhr, 12.03.2025

kannst du das einmal komplett machen für mich meine Werte sind irgendwie komisch

ich bekomme

r = - 512; s - 6; t = 16; u = - 24,89

raus

danke

Roman-22

23:15 Uhr, 12.03.2025

>

kannst du das einmal komplett machen für mich

Warum zeigst du anstelle dessen nicht lieber deine Rechnung her, damit man dir helfen kann, die Fehler zu finden?

Für dich zur Kontrolle:

Was auffällt ist, dass bis auf den richtigen Wert

r

bei den von dir genannten Werten die Vorzeichen vertauscht sind und jeweils eine Zweierpotenz als Faktor fehlt

(2^{7}, 2^{5}

bzw.

2^{3}) :

s = - 6 \cdot (- 2^{7}) = 768

t = 16 \cdot (- 2^{5}) = - 512

u = - 24, \bar{8} \cdot (- 2^{3}) = \frac{1792}{9} = 199, \bar{1}

Es scheint, als hättest du anstelle von

{(- 2)}^{9 - k}

wie von pivot angegeben nur

{(- 2)}^{k}

verwendet.

Miyagi aktiv_icon

23:46 Uhr, 12.03.2025

Im Anhang ist mein versuch.. habs nochmal ordentlich geschrieben, stehe echt auf dem Schlauch

+

Miyagi aktiv_icon

23:46 Uhr, 12.03.2025

Im Anhang ist mein versuch.. habs nochmal ordentlich geschrieben, stehe echt auf dem Schlauch

+

Roman-22

01:43 Uhr, 13.03.2025

Und wie kommst du da auf deinem Zettel dann auf die (richtigen) -512???
Und wie du auf die anderen (falschen) Werte, welche du vorhin angegeben hast, kommst, zeigst du auch nicht.

Warum verwendest du eine andere Formel

(0

statt

k)

als von Pivot angegeben?

Es gilt doch

{(\frac{1}{3} x - 2)}^{9} = \sum_{k = 0}^{9} [(\begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{3} \cdot x)}^{k} \cdot {(- 2)}^{9 - k}]

Der Koeffizient von

x^{k}

ist daher

(\begin{matrix} 9 \\ k \end{matrix}) \cdot \frac{1}{3^{k}} \cdot {(- 2)}^{9 - k}

und da setzt du jetzt bitte der Reihe nach die Werte

0,1,2,3

für

k

ein und rechnest aus!

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