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Wahrheitstabelle

Universität / Fachhochschule

Tags: Erstellung der Wahrheitstabelle

Sunflower1 aktiv_icon

10:32 Uhr, 13.10.2013

Hallo,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Aufgabe: Zeigen Sie mit Hilfe der Wahrheitstafel die folgenden Regeln der Aussagenlogik.

1)

negation

(A ν B) \Leftrightarrow

negation

A \land

negation

B

2) (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow

negation

A ν B

3)

negation

(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land

negation

B

4) (A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow ((A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A))

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

herbert1 aktiv_icon

11:18 Uhr, 13.10.2013

Du kennst die Form von Wahrheitstabellen..?

Beispielhaft der Lösungsansatz für Aufgabe 1:

nicht

(A v b) :

Du erstellst eine kleine Tabelle mit 4 Spalten:

Spalten:

A, B,

AvB, Negation(AvB)

(ich bekommen die Formatierung,

d . h

. die Leerzeilen, hier nicht schön hin...)

unter A und

B

trägst Du nun die möglichen Kombinationen ein:

w

für wahr,

f

für falsch:

etwa so:

w w

w f

f w

f f

Dann trägst Du für AvB die daraus resultierenden Werte ein.

z . B

w f \Rightarrow

AvB ist wahr, also:

w

anschließend in der Spalte nicht(AvB): die Werte für die Negation
Beispiel: AvB ist wahr

\Rightarrow

nicht(AvB)

= f

Das gleiche dann für die rechte Seite der zu zeigenden Äquivalenz.
Hierzu kannst die obige Tabelle erweitern (einfach weitere Spalten anfügen):

Du brauchst 3 weitere Spalten:
nicht

A,

und

... .

. ?

Dann vergleichst Du die Ergebnisse für
nicht(AvB) und nicht(A und

B)

.

Diese sollten übereinstimmen.

Respon

11:21 Uhr, 13.10.2013

Nachdem

1)

ja wirklich leicht ist, hier die Tabelle ( mit zusätzlich ein paar Einträge, die nicht unbedingt notwendig sind, aber auch nicht stören ).
Zur mathematischen Erklärung siehe oben.

herbert1 aktiv_icon

12:52 Uhr, 13.10.2013

Danke RESPON,

mit dem Einstellen von Grafiken habe ich mich noch nicht beschäftigt.

So hatte ich es mir vorgestellt, verbal ist es manchmal schwierig zu vermitteln.
Anhand des konkreten Beispiels kann debbylilly besser die Vorgehensweise nachvollziehen und die anderen Aufgaben lösen.

Sunflower1 aktiv_icon

13:07 Uhr, 13.10.2013

Vielen Dank für eure Hilfe ,mache das zum ersten mal.....

Wie geh ich bei den anderen drei vor?

Mein Ansatz 2.Aufgabe:

erste zwei Spalten:

A B

w w

w f

f w

f f

dritte Spalte:

A ν B

w

w

w

f

nicht

A :

f

f

w

w

nicht

B :

f

w

f

w

nicht

A ν B

f

f

f

w

Stimmt der Ansatz?

herbert1 aktiv_icon

13:16 Uhr, 13.10.2013

Hallo debbylilly,

Du bist auf dem richtigen Weg.
Es fehlt noch eine "Kleinigkeit".

Du hast eine Äquivalenz. Für beide Seiten dieser Äquivalenz benötigst Du ein Ergebnis in der Wahrheitstabelle. Die beiden Ergebniss-Splaten gleichst Du später ab. Diese müssen übereinstimmen.

Bei Deinem Lösungsansatz fehlt die "linke Seite" der Äquivalenz.

Ergebnis:

A \Rightarrow B

Kannst Du für die insgesamt 4 Kombinationen für A und

B

das Ergebnis von der Implikation

A \Rightarrow B

angeben?

Hinweis:

3 \cdot

wahr,

1 \cdot

falsch.

herbert1 aktiv_icon

13:21 Uhr, 13.10.2013

Hallo debbylilly,

Dein Ansatz sollte wohl die rechte Seite der Äquivalenz darstellen.

Auch hier brauchst Du nur 4 Spalten:

A, B,

nicht A und (nicht A oder

B)

Dein Ergebnis von vorhin solltest Du noch einmal dahingehend überprüfen.

Ich nehme an, die Negation bezieht sich nur auf A.
es besteht ein Unterschied zwischen:

"nicht

A v

B" und "nicht

(A v

B)"

Sunflower1 aktiv_icon

13:25 Uhr, 13.10.2013

A \Rightarrow B

w

w

w

f

herbert1 aktiv_icon

13:29 Uhr, 13.10.2013

sehr gut, prima.

Noch eine Anmerkung:
Du "zerlegst" also die beiden Seiten der Äquivalenzaussage und überlegst, welche Spalten Du dafür benötigst.

herbert1 aktiv_icon

13:33 Uhr, 13.10.2013

Kleine Korrektur,

bei Deiner Lösung

A \Rightarrow B

war doch ein Fehler... sorry.

Überprüfe bitte noch einmal...

Sunflower1 aktiv_icon

13:35 Uhr, 13.10.2013

Vielen dank herbert1 kannst du mir die Aufgabe kurz übersichtlich darstellen, um das nachvollziehen zu können ?(mir reicht das auch falls du nicht in tabellenform darstellst sondern nebeneinander.)

Vielen Dank für deine Hilfe.

herbert1 aktiv_icon

13:39 Uhr, 13.10.2013

Hallo debbylilly,

nur für

A \Rightarrow B

??

Also:

AB und

A \Rightarrow B

ww, dann:

w

wf, dann:

f

fw, dann:

w

ff, dann:

w

Dies solltest Du einfach auswendig lernen.

Damit hast Du die linke Seite.

Kannst Du nun die beiden Spalten:
"nichtA" und (nichtA oder

B)

selber ergänzen?

Beispiel (erste Zeile)

AB nichtA (nichtA oder

B)

ww dann:

f

dann:

w

(da

B

wahr ist)

Sunflower1 aktiv_icon

14:03 Uhr, 13.10.2013

nicht

A :

f

f

w

w

nicht A oder

B :

f

f

f

w

herbert1 aktiv_icon

14:11 Uhr, 13.10.2013

Hallo,

hast Du eine Tabelle mit insgesamt 5 Spalten?

Die ersten 2 Zeilen:

A...B..(A=>B)...(nichtA)..

[

(nichtA) oder

B]

w . w ... . w ... ... ... f ... ... ... ... w

w . f ... . f ... ... ... . f ... ... ... ... f

(denn nichtA und

B

haben jeweils den Wert: falsch

f . w ... . w ... ... ... w ... ... ... ...

? ( da A den Wert

f

hat, erhält (nichtA) den Wert:

w

f . f ... . w ... ... . .

Sunflower1 aktiv_icon

14:24 Uhr, 13.10.2013

Vielen Dank Herbert,

Die Spalte A...B...nicht

A . .

. kann ich nachvollziehen Die Spalten

(A \Rightarrow B)

[

(nicht

A)

oder

B]

habe ich nicht so recht verstanden.

herbert1 aktiv_icon

14:37 Uhr, 13.10.2013

Hallo,

Du sollst die Äquivalenzaussage

A \Rightarrow B

und (nichtA oder

B)

nachweisen.

In der Wahrheitstafel benötigst Du daher die beiden Spalten:

A \Rightarrow B

(linke Seite)
und
(nichtA oder

B)

(rechte Seite)

Die Ergebnisse müssen identisch sein, dann hast Du die Äquivalenz nachgewiesen.

Die Wahrheitswerte für

A \Rightarrow B

sind "fest":
Es gilt

A . B ... A \Rightarrow B

w . w ... . w

w . f ... . f

f . w ... . w

f . f ... . w

Die Werte solltest Du Dir auch für später merken.

zu zeigen ist nun, dass die Spalte (nichtA oder

B)

die selben Werte aufweist.

Um das einfacher zu erkennen, nimmst Du eine Hilfszeile nichtA auf,
zusätzlich die Spalte für das "Ergebnis" (nichtA oder

B)

Ich lasse zur besseren Lesbarkeit die Spalte

A \Rightarrow B

von oben weg...

Es gilt:
A....B..nichtA.... (nichtA oder

B)

w . . w ... f ... ... ... ... . . w ...

. ist wahr, da

B

wahr ist

w

..f...f..............f.....ist falsch, da weder A noch

B

wahr sind

f

..w...w..............w.....ist wahr, da A und

B

wahr sind (es reicht ein "wahr")

f

..f...w..............w.....ist wahr, da nichtA wahr ist

Die Ergebnisse von

A \Rightarrow B

und (nichtA oder

B)

stimmen genau überein, daher gilt die Äquivalenz

So verständlicher....?

Sunflower1 aktiv_icon

15:14 Uhr, 13.10.2013

Vielen Dank Herbert1 und Respon,

muss mir die Aufgabe nochmal genauer anschauen.

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