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Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

celina-o aktiv_icon

18:03 Uhr, 09.05.2017

Hallo,

kann mir jemand erklären wie man diese Aufgabe löst?

Eine Eisdiele verfügt über 8 verschiedene Eissorten. Es soll ein Eisbecher mit 4 Kugeln zusammengestellt werden.
Bestimmen Sie unter der Annahme, dass jede Zusammenstellung von 4 Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erfolgt, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

a)

alle 4 gewählten Kugeln von verschiedenen Eissorten sind,

b)

alle 4 gewählten Kugeln von der gleichen Eissorte sind,

c)

je 2 Kugeln von der gleichen Eissorte sind.

Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

10:59 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

Du wirst wohl die verschiedenen Fälle mal durchzählen müssen: Wieviele "Zusammenstellungen" (dabei gehe ich davon aus, dass die Reihenfolge egal ist?) gibt es mit

- 4

gleichen Sorten

- 3

gleichen Sorten und 1 davon verschiedenen

- 1

Paar und 1 weiteres Paar

- 1

Paar und 2 davon und untereinander verschiedene
- alle verschieden.

Gruß pwm

Bummerang

11:30 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

"Du wirst wohl die verschiedenen Fälle mal durchzählen müssen"

Bloß nicht! Nachdenken und Formeln finden ist schneller! Viel schneller!

celina-o aktiv_icon

11:41 Uhr, 10.05.2017

A)

und

B)

konnte ich mithilfe der klassischen Wahrscheinlichkeit lösen. Aber bei

C

verstehe ich nicht, wie ich vorgehen muss, da es sich hier ja um 2 mal die gleiche Sorte handelt... welche Formel ist hier anzuwenden?

Vielen Dank.

Bummerang

11:43 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

denke nach, was Du tatsächlich wählen kannst und was Du, nachdem Du ein Mal gewählt hast, nehmen musst!

anonymous

12:22 Uhr, 10.05.2017

Hallo
"A) und

B)

konnte ich mithilfe der klassischen Wahrscheinlichkeit lösen."

Solche Aufgaben folgen eigentlich oft dem Prinzip:
die

a)

ist die einfachste, zum Fuß fassen.
die

b)

ist schon ein klein wenig schwerer, aber wer die

a)

hat, der schafft auch die etwas anspruchsvollere Hürde, die

b)

zu bewältigen.
die

c)

ist dann noch ein wenig schwerer, aber wer

a)

und

b)

hat, der ist gut vorbereitet, auch diese Schwierigkeit zu bewältigen.

So viel sei verraten: Das eben Gesagte gilt auch für die Aufgabe hier.
Also,
"A) und

B)

konnte ich mithilfe der klassischen Wahrscheinlichkeit lösen."
Was hast du raus?
Was hast du dir dabei gedacht?
Wie bist du vorgegangen?
Du wirst sehen, wenn du wirklich gut gedacht, sinnvoll vorgegangen und systematisch analysiert hast, dann kannst du auch die

c)

schaffen, oder zumindest gezielter nachfragen, was jetzt noch hindert und hemmt...

pwmeyer aktiv_icon

12:40 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

die Lösungen würden mich interessieren.

Viele Grüße
pwm

celina-o aktiv_icon

13:09 Uhr, 10.05.2017

Bei

A)

habe ich die Anzahl aller möglichen Fälle berechnet, also

8^{4} = 4096,

dann die möglichen Fällen für verschiedene Kugeln

8 \frac{!}{4}! = 1680

und dann eben

\frac{1680}{4096} = 0,4102

Bei

B)

habe ich die 8 Sorten genommen und

\frac{8}{4096} = 0,0020

ausgerechnet.
Aber bei der

C

verstehe ich nicht wie ich auf die Anzahl der möglichen Fälle für 2 der gleichen Sorte komme..

pwmeyer aktiv_icon

13:38 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

wenn Du

8^{4}

Möglichkeiten ansetzt, dann ist das ja mit Reihenfolge gezählt,

d . h

.

Vanille,Vanille,Vanille,Schokolade

ist für Dich eine andere Zusammenstellung als

Schokolade,Vanille,Vanille,Vanille

Die Wahrscheinlichkeit für 4-mal Vanille ist dann

\frac{1}{8^{4}},

die Wahrscheinlichkeit für (3-mal Vanille und 1-mal Schokolade) ist dann

\frac{4}{8^{4}}

. Nach Aufgabenstellung sollen alle "Zusammenstellungen" die gleiche Wahrscheinlichkeit haben??

Ich würde da mal den Aufgabensteller fragen, was gemeint sein soll.

Vielleicht gibts ja noch weitere Kommentare im Forum.

Gruß pwm

Bummerang

15:05 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

Tipp für die Herangehensweise und wie die Lösung am Ende aussehen muss! Stelle Dir immer die folgenden drei Fragen:

1. Ist es eine Anordnung oder eine Auswahl?

2. Ist bei einer Auswahl die Reihenfolge entscheidend?

3. Können die Objekte auch mehrfach (wiederholend) auftauchen?

Dann erhältst Du bei den Antworten:

1. Anordnung

\Rightarrow

Permutation

1. Auswahl

\Rightarrow

Siehe Frage 2

2. Ja

\Rightarrow

Variation

2. Nein

\Rightarrow

Kombination

3. Ja

\Rightarrow

mit Wiederholung

3. Nein

\Rightarrow

ohne Wiederholung

Hier wendest Du die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit an:

\frac{g u e n s t i g e M o e g l i c h k e i t e n}{a l l e M o e g l i c h k e i t e n}

Alle Möglichkeiten wird für alle 3 Aufgabenteile benötigt. Es werden 4 Eissorten aus 8 Eissorten ausgewählt

(1

. Auswahl). Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an

(2

. Nein

\Rightarrow

Kombination) und es können auch die einzelnen Sorten mehrfach ausgewählt werden

(3

. Ja).

\Rightarrow

Kombination mit Wiederholung:

(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})

a)

Günstige Möglichkeiten:

Es werden 4 Eissorten aus 8 Eissorten ausgewählt

(1

. Auswahl). Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an

(2

. Nein

\Rightarrow

Kombination) und es können die einzelnen Sorten nicht mehrfach ausgewählt werden

(3

. Nein).

\Rightarrow

Kombination ohne Wiederholung:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

mit

n = 8

und

k = 4

Lösung

a) \frac{(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})}{(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})}

b)

Günstige Möglichkeiten:

Es wird 1 Eissorte aus 8 Eissorten ausgewählt

(1

. Auswahl). Von dieser Eissorte werden dann vier Kugeln genommen! Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an

(2

. Nein

\Rightarrow

Kombination) und es können die einzelnen Sorten nicht mehrfach ausgewählt werden

(3

. Nein).

\Rightarrow

Kombination ohne Wiederholung:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

mit

n = 8

und

k = 1

Lösung

b) \frac{(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})}{(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})}

c)

Günstige Möglichkeiten:

Es werden 2 Eissorten aus 8 Eissorten ausgewählt

(1

. Auswahl). Von diesen Eissorten werden dann jeweils 2 Kugeln genommen! Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an

(2

. Nein

\Rightarrow

Kombination) und es können die einzelnen Sorten nicht mehrfach ausgewählt werden

(3

. Nein).

\Rightarrow

Kombination ohne Wiederholung:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

mit

n = 8

und

k = 2

Lösung

c) \frac{(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})}{(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})}

Roman-22

15:10 Uhr, 10.05.2017

@Bummerang

>

und wie die Lösung am Ende aussehen muss!
"muss" !!??? Das mit dem müssen ist halt so eine Sache

. .

.
Bedeuten in deinen Formel

n

und

k

immer das gleiche (innerhalb einer Formel). Lösung bei

b)

wäre dann bei dir

100 %

??
Und hast du beachtet, dass deine

330

Kombinationen nicht mit gleicher Wkt auftreten?

Ich interpretiere die Aufgabe jedenfalls so, dass jede der vier Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der 8 Sorten sein kann.
Die Angabe, so wie sie hier vorgestellt wurde, formuliert anders
"unter der Annahme, dass jede Zusammenstellung von 4 Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erfolgt"
und wie pwmeyer schon anmerkte, ist das hinterfragenswert.

Nimmt man diesen Angabepassus für bare Münze, so kann man Bummerangs Lösungsweg folgen - muss aber beachten, dass in seinen Lösungsformeln bei

b)

und

c)

die

k

im Nenner und im Zähler unterschiedlich sind. Im Nenner ist immer

k = 4

zu wählen, im Zähler aber

k = 1

bzw.

k = 2

.
Löungen wären dann:

a) \frac{7}{33} \approx 21,21 %, b) \frac{4}{165} \approx 2,42 %, c) \frac{14}{165} \approx 8,48 %

@celina-o

A)

und

B)

hast du richtig und du hast dabei einen kombinatorischen Ansatz gewählt.
Du hättest dir

A)

zB auch nur mit Wahrscheinlichkeiten überlegen können:
Die erste Kugel kann alles sein, die Wkt eine "richtige" zu erwischen ist also 1
Die zweite Kugel muss eine von den verbleibnenden 7 sein, die Wkt da eine zu erwicshen ist

\frac{7}{8}

.
Analog haben wir für die dritte Kugel

\frac{6}{8}

und für die vierte

\frac{5}{8}

1 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{105}{256} \approx 41,016 %,

so wie von dir auch anders berechnet.

Da du

A)

und

B)

bereits richtig unter Berücksichtigung der Reihenfolge gelöst hast, kannst du ruhig auch bei

C)

dabei bleiben. Denn das Abzählen der Möglichkeiten unter Beachtung der Reihenfolge hat den Vorteil, dass die Gleichwahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten gegeben ist.
Erst wählen wir die beiden Eissorten. Wie viele Möglichkeiten für zwei Paare gibt es? Und wir müssen dann auch noch dabei die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten mit berücksichtigen.
Zuerst wählen wir also die beiden Sorten und das ist auf

(\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

Arten möglich (Kombination ohne Whg).
Danach müssen wir die 4 Kugeln, von denen nun je zwei von derselben Sorte sind, anordnen

\to

Permutation mit Wiederholung.
Dann die beiden Ergebnisse miteinander multiplizieren und durch die Gesamtanzahl dividieren und das liefert die Wkt für

c)

mit

\frac{21}{512} \approx 4,102 %

pwmeyer aktiv_icon

17:25 Uhr, 10.05.2017

Hallo,

"Und hast du beachtet, dass deine

330

Kombinationen nicht mit gleicher Wkt auftreten?"

Meine Behauptung / Frage war, dass die Aufgabenstellung besagt, dass diese

330

Kombinationen eben mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.

Gruß pwm

Roman-22

17:34 Uhr, 10.05.2017

>

Meine Behauptung / Frage war, dass die Aufgabenstellung besagt, dass diese

330

Kombinationen eben mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
Ja, dann wäre Bummerangs Ansatz (bis auf seine abschließenden Lösungsterme, siehe meine Antwort oben) zu wählen.
Allerdings vermute ich stark, dass der Aufgabensteller das nicht so gemeint hatte, sondern davon auszugehen ist, dass jeder der Kugeln mit gleicher Wkt eine der 8 Sorten sein kann. Dass also bei willkürlich zufälligem Griff in die Eistöpfe die Wkt für vier Mal Schokolade deutlich geringer ist, als für die Zusammenstellung Vanille-Schoko-Erdbeer-Pistazie, die nach dieser Auffassung ja auf

24

verschiedene Arten zustande kommen kann.
Endgültige Klarheit könnte aber nur der Aufgabensteller selbst schaffen, denn aus dem gegebenen Text geht nicht hervor, was genau man sich unter "Zusammenstellung" vorstellen soll - ob hier also die Reihenfolge berücksichtigt sein will oder nicht.

Bummerang

12:08 Uhr, 12.05.2017

Hallo,

der Fehler in meiner Lösung ist, dass ich zunächst alle Möglichkeiten betrachtet habe, also den Nenner, und diesen nicht explizit angegeben und im folgenden benutzt habe. So bezieht sich die Angabe des

k

bei den Aufgabenteilen

a)

bis

c)

allein auf den Zähler und nicht auf den Nenner. Das

k

im Nenner ist natürlich immer

4!

Vielleicht sollte man besser so schreiben:

a) n = 8, k_{a} = 4, k = 4 : \frac{(\begin{matrix} n \\ k_{a} \end{matrix})}{(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})}

b) n = 8, k_{b} = 1, k = 4 : \frac{(\begin{matrix} n \\ k_{b} \end{matrix})}{(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})}

c) n = 8, k_{c} = 2, k = 4 : \frac{(\begin{matrix} n \\ k_{c} \end{matrix})}{(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})}

Zur Kontrolle:

a) 21, \bar{21} %

b) 2, \bar{42} %

c) 8, \bar{48} %

anonymous

12:38 Uhr, 12.05.2017

@Bummerang
Roman versuchte schon zu erklären. Und ich will gerne nochmals in meinen Worten zu erklären versuchen.
"der Fehler an "d"einer Lösung ist, dass" du Kombinationen nutzt und rechnerisch ansetzt.
Aber wie gesagt, du kannst/darfst nicht alle Kombinationen in einen Topf werfen und zur Wahrscheinlichkeitsberechnung vermauscheln.
Der Grund ist, wie schon angemerkt, dass nicht alle Kombinationen gleich wahrscheinlich sind.
Die Eiszusammenstellung
Schoko+Schoko+Schoko+Schoko
ist einmalig, egal, ob du sie als Kombination (ohne Reihenfolge) oder als Variation mit Reihenfolge zählst.
Die Eiszusammenstellung
Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer
hingegen

>

ist einmalig, wenn du sie als Kombination (ohne Reihenfolge) betrachtest,

>

dagegen wird sie 24-fach gezählt, wenn du sie als Variation (mit Reihenfolge) betrachtest:

\to

Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer

\to

Vanille+Zitrone+Erdbeer+Schoko

\to

Zitrone+Erdbeer+Schoko+Vanille

\to u . s . w

.

Oder um es anschaulicher und überschaubarer zu gestalten, lass uns die Aufgabenstellung auf abzählbare Zahlen vereinfachen:
Nehmen wir an, wir hätten nur 2 Eissorten:

a, b

Nehmen wir an, wir würden uns einen Eisbecher aus nur 2 Kugeln zusammenstellen.
Wir sind uns sicher einig, dass es nur folgende Möglichkeiten gibt (mit Beachtung der Reihenfolge):

a a

a b

b a

b b

Und wir übersehen sicherlich leicht, dass es genau 2 der 4 Möglichkeiten sind, die alle Kugeln aus der selben Eissorte zusammenstellen:

a a

b b

Zusammenfassend: Die Wahrscheinlichkeit bei diesem Spielchen alle Kugeln aus der selben Eissorte zusammenzustellen beträgt:

50 %

.

Wenn man jetzt aber fälschlicherweise wie du die Kombinationen nutzt, dann gibt es doch nur 3 Zusammenstellungen, nämlich:

a a

a b

b b

Und zwei davon sind aus der selben Eissorte zusammengestellt, nämlich:

a a

b b

Würde man also so wie du fälschlicherweise einfach Kombinationen zu Wahrscheinlichkeiten verrechnen, dann käme man zum Trugschluss:
Die Wahrscheinlichkeit bei diesem Spielchen alle Kugeln aus der selben Eissorte zusammenzustellen beträgt:

\frac{2}{3}

.

Sorry - edit - korrigiert

anonymous

13:02 Uhr, 12.05.2017

Ich habe mir die Aufgabenstellung nochmals angeschaut und durch den Kopf gehen lassen.

Möglicherweise liegt ein Missverständnis vor, weil die Aufgabenstellung missverständlich ist.
Die Aufgabenstellung versucht zu erklären: "...Annahme, dass jede Zusammenstellung von 4 Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erfolgt,..."
Leider geht hieraus nicht eindeutig hervor, was eine 'Zusammenstellung' ist.

a)

Nehmen wir an, wie Roman erklärtermaßen und ich spontan, dass "dass jede der vier Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der 8 Sorten sein kann."
Also sinngemäß: wir haben eine Urne mit 8 Eissorten.
Wir greifen mit dem Eisportionierer ein erstes mal in die Tiefkühlurne und greifen zufällig eine erste Eissorte.
Wir greifen mit dem Eisportionierer ein zweites mal in die Tiefkühlurne und greifen zufällig eine zweite Eissorte.
Wir greifen mit dem Eisportionierer ein drittes mal in die Tiefkühlurne und greifen zufällig eine dritte Eissorte.
Wir greifen mit dem Eisportionierer ein viertes mal in die Tiefkühlurne und greifen zufällig eine vierte Eissorte.

Das sind

8^{4}

Variationen

(=

möglicherweise 'Zusammenstellungen')

b)

Der Begriff 'Zusammenstellung' könnte aber auch so zu verstehen sein, dass der Eisverkäufer alle

(\begin{matrix} 8 + 4 - 1 \\ 4 \end{matrix}) = 330

Kombinationen

(=

möglicherweise 'Zusammenstellungen') auf eine Drehscheibe mit

330

gleichberechtigten Feldern gemalt hat, und den Kunden an der Drehscheibe drehen lässt, um seinen Eisbecher auszuwählen.

Ergo: Wir werden wieder mal erst die Aufgabenstellung klären und eindeutig machen müssen.

anonymous

13:07 Uhr, 12.05.2017

Und nach nochmals Durchscrollen Anerkennung für pwmeyer.
Der hatte mal wieder schneller als ich Blitzmerker betont:
"Nach Aufgabenstellung sollen alle "Zusammenstellungen" die gleiche Wahrscheinlichkeit haben??
Ich würde da mal den Aufgabensteller fragen, was gemeint sein soll."

Bummerang

13:23 Uhr, 12.05.2017

Hallo kreadoor,

"Nach Aufgabenstellung sollen alle "Zusammenstellungen" die gleiche Wahrscheinlichkeit haben??
Ich würde da mal den Aufgabensteller fragen, was gemeint sein soll."

Ist für mich klar, nämlich dass, um mit Deinen Worten zu sprechen, die Eiszusammenstellung
Schoko+Schoko+Schoko+Schoko einmalig ist und die Eiszusammenstellung
Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer genauso einmalig ist! Und damit sind wir wieder bei meiner von Euch so gescholtenen Lösung. Und warum gescholten? Weil ich im Gegensatz zu manch anderem lesen kann!

anonymous

13:32 Uhr, 12.05.2017

Jetzt muss ich aber ein klein wenig schelten.
Weil, lieber Bummerang, deine letzte Einlassung leider gar nichts klärt.

a)

Wir sind uns einig, dass
"Schoko+Schoko+Schoko+Schoko

[

eine] einmalig"(e) Zusammenstellung ist.

b)

Wir sind uns einig, dass
"Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer

[

eine] genauso einmalig"(e) Zusammenstellung ist.

Interessant und fraglich ist doch aber, ob sich die Zusammenstellung
Vanille+Zitrone+Erdbeer+Schoko
von der letztgenannten unter

b)

unterscheidet oder nicht.

Bummerang

13:40 Uhr, 12.05.2017

Hallo kreadoor,

"Bestimmen Sie unter der Annahme, dass jede Zusammenstellung von 4 Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erfolgt"

Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer ist die selbe Zusammenstellung wie Vanille+Zitrone+Erdbeer+Schoko! Ich möchte das Gesicht des Eisverkäufers sehen, wenn Du ein Eis mit Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer bestellst und er dann diese vier Kugeln in der Reihenfolge Vanille+Zitrone+Erdbeer+Schoko in die Waffel macht (weil die Schüsseln in dieser Reihenfolge stehen und er dann nicht kreuz und quer laufen muss) und Du ihm dann sagst, dass Du dieses Eis nicht bestellt hättest, sondern ein Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer-Eis! Wenn Du Glück hast lacht er drüber, wenn Du Pech hast, bekommst Du das Vanille+Zitrone+Erdbeer+Schoko-Eis ohne dafür bezahlen zu müssen, dafür aber direkt auf den Kopf - mit Waffel nach oben!

Es lohnt sich hin und wieder mal darüber nachzudenken, ob man eine Aufgabe bis ins letzte Detail ausformuliert haben will, was nur selten der Fall ist, oder ob man einfach mal das "Was-wäre-wenn-Spiel" spielt und das Ganze in den Alltag einbettet...

anonymous

14:58 Uhr, 12.05.2017

Hallo Bummerang
Ich gebe dir recht, dass ich es in der Praxis im Eisladen dem Eisverkäufer überlasse, aus
Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer
ein
Vanille+Zitrone+Erdbeer+Schoko
zu machen. Im Eisbecher ist das eine vom andern im Nachhinein vielleicht gar nicht mehr zu unterscheiden.

Aber - wir sind hier nicht im Eisladen, sondern in onlinemathe.
Und da wollen wir doch mathematisch systematisch bleiben.
Und in der Kombinatorik unterscheidet man nun mal Kombinationen und Variationen.
Wie ich um

13 : 02 h

ausführlich ausführte, ist aus dem Aufgabentext heraus und unter dem Begriff 'Zusammenstellung' nicht klar, ob hierbei die Reihenfolge eine Rolle spielt, oder eben nicht.

Du deutest in deiner letzten Antwort an, die Aufgabe sei nur auf die dir genehme Weise eindeutig zu verstehen.
Die Tatsache, dass mittlerweile nicht nur du und ich, sondern auch pwmeyer und roman

>

mal spontaner sowohl das eine als auch das andere Verständnis favorisierten,

>

mal erklärter maßen (pwmeyer gestern

13 : 38 h,

ich heute

13 : 02 h)

aufrissen, dass hier aus der Zweideutigkeit mit/ohne Reihenfolge nur nach Erklärung mit/ohne Reihenfolge zwei Lösungen möglich sind,
zeigt, dass die Aufgabenstellung eben schon unter uns 4 Personen eindeutig zweideutig verstanden wurde.

Bleiben wir doch sachlich.
Wenn man erkannt hat, dass etwas zweideutig ist, dann sollte man nicht darauf beharren, dass nur die eigene Sichtweise stimmig ist, sondern

>

das Missverständnis klarstellen,

>

klarstellen, von welcher Annahme/Verständnis man ausgeht,

>

und unter dieser Annahme/Verständnis seine Lösung aufzeigen.

Bummerang

15:48 Uhr, 12.05.2017

Hallo kreadoor,

ich bin der Meinung: Wir sind hier nicht in der theoretischen Hochmathematik, sondern in einem Beispiel aus der Praxis. Und da wollen wir doch mal die Kirche im Dorf lassen!

Und in der Praxis am Eisladen unterscheidet man nun mal nicht zwischen einem Schoko+Vanille+Zitrone+Erdbeer-Eis und einem Vanille+Zitrone+Erdbeer+Schoko-Eis.

Wie ich um

13 : 23

Uhr ausführlich ausführte, ist eine solche Unterscheidung in der Praxis mit gewissen Gefahren verbunden.

Du beharrst in deiner letzten Antwort, die Aufgabe sei nur auf die dir genehme Weise als nicht eindeutig zu verstehen.

Die Tatsache, dass mittlerweile nicht nur du, sondern auch pwmeyer und roman

〉

mal spontaner sowohl das eine als auch das andere Verständnis favorisierten,

〉

mal erklärter maßen (pwmeyer gestern

13 : 38 h,13 : 38 h,

ich heute

13 : 02 h) 13 : 02 h)

aufrissen, dass hier aus der Zweideutigkeit mit/ohne Reihenfolge nur nach Erklärung mit/ohne Reihenfolge zwei Lösungen möglich sind, zeigt, dass es mindestens 3 Personen gibt, die den Bezug zur Praxis ganz oder teilweise verloren haben.

Bleiben wir doch sachlich.
Wenn man erkannt hat, dass etwas in der Praxis irrelevant ist, dann sollte man nicht darauf beharren, dass nur die eigene Sichtweise stimmig ist, sondern

〉

klarstellen dass es kein Missverständnis gibt,

〉

klarstellen, dass man den praktischen Bezug berücksichtigt,

〉

und unter diesem praktischen Bezug seine Lösung aufzeigen.

PS: Sorry, dass ich Deine Zusammenstellung der Fakten guttenbergt habe, aber treffender als Du hätte ich das nicht zusammenstellen können!

anonymous

15:55 Uhr, 12.05.2017

Immerhin waren dir meine Formulierungen treffend genug, sie anerkennend zu deinen Zwecken wiederverwendet zu haben.
Ich hatte auch einige Mühe, mich verständlich machen zu wollen.
:-)

anonymous

19:34 Uhr, 12.05.2017

Bummerang, gestatte noch eine Nachbemerkung, eine Überlegung, die ich zwischenzeitlich noch gemacht habe.

Lass uns 2 Vorgänge bei unserer Eis-Lotterie unterscheiden:

α)

Bestellvorgang

β)

Eis in den Eisbecher löffeln.

zu

α,

Bestellvorgang)
Das ist dieser Zufalls-Vorgang 'Eis-Zusammenstellung'. Er wird vom Kunden getätigt.
Die Aufgabe besagt: "...Annahme, dass jede Zusammenstellung von 4 Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erfolgt..."
Wir wissen nicht, was sich der Kunde dabei denkt. Wir wissen nicht, ob das vielleicht ein Praxis-verlorener Wirrkopf ist, der echt

8^{4}

Variationen im Kopf hat, gemäß

a)

wie ich es um

13 : 02 h

beschrieben hatte,
oder ob es ein anderer Praxis-verlorener Wirrkopf ist, der die

330

Kombinationen im Sinn hat, gemäß

b)

wie ich es um

13 : 02 h

beschrieben hatte.
Vielleicht hat sich die Eisdiele ja tatsächlich einen Verkaufsschlager ausgedacht
"Heute Eis zum halben Preis, wenn sie der Zufallsmaschine die Zusammenstellung überlassen"
und hat eine Drehscheibe mit den

330

Kombinationen daneben gestellt, die deiner Meinung nach zutreffend sind.
Vielleicht hat die Eisdiele aber auch nicht so viel Platz für

330

gleichwertige Felder auf der Drehscheibe gefunden. Deshalb haben sie 4 verschieden große Drehscheiben hingestellt, auf jeder 8 Felder mit den Eissorten. Der Kunde darf an allen vier Scheiben zufällig drehen. Das wären die

8^{4}

Variationen.
Die "...Annahme, dass jede Zusammenstellung von 4 Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erfolgt..." passt zu beiden Optionen.

zu

β,

Eis in den Eisbecher löffeln)
Wir sind uns einig, der Eiszubereiter wird eine Reihenfolge wählen, die ihm gerade passt. Präziser, er wird die Reihenfolge ignorieren. Beachte: Im Gegensatz zu

α

wird dies vom Eisdielen-Eiszubereiter getätigt.
Der Einfachheit halber: Mein absolutes Entgegenkommen: Er denkt sinngemäß in

330

Kombinationen.

Aber du merkst schon, worauf ich hinaus will. Was ist entscheidend für die Zusammenstellungen?
Deine Argumentation, wenn ich dich recht verstehe, betrifft den beta-Vorgang. Ich weiß mittlerweile, du weißt dich zu wehren, falls ich dir hier Unrecht tue.
Aber - was prägt die Verteilung der Zusammenstellungen? Das ist doch eindeutig der alpha-Vorgang, der Bestellvorgang.
Sollte der alpha-Bestellvorgang einer Variation unterliegen, dann ist es völlig unerheblich, dass der beta-Mensch eine Kombination draus macht. Die Verteilung und die gefragte Wahrscheinlichkeit wird vom alpha-Bestellvorgang geprägt. Und den kennen wir nicht.

Wenn ich mit meiner Ahnung Recht habe, dann ist dieser onlinemathe-thread mal wieder ein Lehrbuchbeispiel dafür, wie auch erfahrene Hobby-Statistiker nach Jahren onlinemathe und Hunderten Rechenspielchen noch über die angemessene Anwendung mit/ohne Reihenfolge stolpern/streiten/stottern/sinnieren können.
Mir jedenfalls waren die letzten Stunden wieder eine lehrreiche Sternstunde, auch weil ich erst wieder Worte, Argumente und Gedanken formulieren und klarstellen musste, die nicht so naheliegend spontan aus dem Ärmel kommen, wie mancher Schnellschuss. Dank dir!

Roman-22

23:08 Uhr, 12.05.2017

Vielleicht können wir die Sache hier mal abschließen - schließlich hat die Fragestellerin offenbar schon vor zwei Tagen das Weite gesucht.

Und auch, wenn Bummerang im Vorwort zu seiner Lösung unmissverständlich mit
"Tipp für die Herangehensweise und wie die Lösung am Ende aussehen muss!"
klar stellt, dass es außer der seinen keine andere gibt und keine toleriert wird und er auch netterweise meint, dass
"ich im Gegensatz zu manch anderem lesen kann!"
ist am Ende doch wieder manches anders als sich manch einer zu denken vermag.

Bummerang selbst hat ja der (wie er meint sehr seltenen) bis ins letzte Detail ausformulierten Aufgabenstellung die praxisgerechte "Einbettung" in den Alltag gegenübergestellt und diese offenbar favorisiert und in seiner charmanten, keinen Widerspruch duldenden Art klar gestellt, dass er diesen Praxisbezug selbstverständlich hat, dass aber
".. es mindestens 3 Personen gibt, die den Bezug zur Praxis ganz oder teilweise verloren haben."
Reizend, dieser besserwisserische, herabwürdigende Ton!

Nur kurz darauf eingehend sei angemerkt, dass, wenn in der Praxis ein Eisbecher per Zufall zusammengestellt wird, es ganz konkret wohl so passiert, dass der Eisverkäufer viermal nach Zufall eine Kugel wählt und in die Tüte klatscht. Und dieses Prozedere, diese "Einbettung in den Alltag" (denn das kreadoor'sche

330

Sektoren Glücksrad würde ich nicht als alltagstauglich einstufen) entspricht, ob man es wahrhaben will oder nicht, von der Wahrscheinlichkeit her eben einer Berücksichtigung der Reihenfolge, auch wenn diese letztlich dann sowohl dem Käufer, als auch dem Verkäufer egal ist. Das auch ungeachtet des hier vorgestellten Angabetextes, der von "gleicher Wahrscheinlichkeit aller Zusammenstellungen" spricht - denn das kann nur die

330

Möglichkeiten meinen, muss es aber nicht (und wie wir sehen werden - meint sie auch nicht!)

Aber eine kurze Recherche hätte doch längst zutage gebracht, dass wir es hier leider wieder einmal mit dem Problem einer nicht korrekt und vollständig wiedergegeben Aufgabenstellung zu tun haben.
Die mindestens

20

Jahre alte Aufgabe findet sich mit beinahe identem Wortlaut hier (Screenshot im Anhang)
books.google.at/books?id=lzEeBgAAQBAJ&pg=PA67
nur, dass hier eben explizit angegeben ist, dass die Reihenfolge zu beachten ist, also die durchaus vernünftigere und praxisnähere Interpretation zu wählen ist (das

330

Felder Glücksrad von kreadoor wirds wohl nirgends geben, Zufallseistüten werden aber am letzten Saisontag gelegentlich doch verschenkt, auch wenn man meist trotzdem auch bei solchen Gelegenheiten frei unter den noch verfügbaren Sorten wählen darf).

Fazit: Auch wenn manch lesen könnender Praktiker meint, die einzig wahre Interpretation eines von anderen bereits als mehrdeutig klassifizierten Textes gefunden zu haben, so möge er doch bitte trotzdem andere Meinungen respektieren und zulassen und sich nicht in Killerphrasen flüchten, denn das wertet ihn nicht auf - ganz im Gegenteil.

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