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Wahrscheinlichkeit

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Zufallsexperiment

Tags: Zufallsexperiment

MNightShyamamalama-sama-kun aktiv_icon

14:16 Uhr, 17.01.2011

Hallo,
könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?

Stein-Schere-Papier- ein Knobelspiel für 2 Personen

Bei diesem Spiel zählen die beiden Gegner A und

B

gleichzeitig bis drei und bewegen dabei die geschlossene Hand jeweils nach unten. Bei drei zeigt jeder entweder eine geballte Faust ( Stein

S),

zwei ausgestreckte Finger ( Schere Sch) oder die flache Hand ( Papier

P)

. Stein gewinnt gegen Schere, Schere gewinnt gegen Papier, Papier gewinnt gegen Stein.

a)

Zeichne ein Baumdiagramm zum Knobelspiel "Spieler A gegen Spieler B". Gib den Ergebnisraum "Omega" an.

Meine Lösung:

A B

\frac{/}{} /

S

Sch

P S

Sch

P

Omega:(S,Sch,P)

b)

Zeigen zwei Spieler das gleiche Symbol,ist das Spiel unentschieden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt

A,

mit welcher Wahrscheinlichkeit B? Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet das Spiel unentschieden?

Meine Lösung: Die Gewinnmöglichkeiten für Spieler A und

B

sind gleich, nämlich jeweils

\frac{2}{3} = 66 %

. Die Möglichkeit für unentschieden beträgt

\frac{1}{3} = 33 % .

c) A

und

B

spielen dreimal gegeneinander. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A häufiger als B?

Sind die Aufgaben

a)

und

b)

richtig gelöst? Bei Aufgabe

c)

komme ich nicht weiter, könnt ihr mir bitte helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

AndreasBL aktiv_icon

14:45 Uhr, 17.01.2011

Aufgabe

a)

Die Darstellung des Baumdiagramms ist hier kaum möglich.
Sinn ist, dass du ALLE möglichen Ergebnisse eines Spiels darstellst.
WELCHE Ereignisse sind möglich (insgesamt

9)

und zu welchem Ergebnis sie jeweils führen

(A

gewinnt,

B

gewinnt, Unentschieden)

Aufgabe

b)

Die Wahrscheinlichkeit des Unentschieden stimmt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass JEDER Spieler eine Gewinnwahrscheinlichkeit von

\frac{2}{3}

hat ist falsch.
Guck dir das Baumdigramm an, notiere die günstigen Fälle für Spieler

A,

die günstigen Fälle für Spieler

B

und dann dividiere die jeweiligen Zahlen durch die Anzahl aller Möglichkeiten

Aufgabe

c)

Hier benötigst du nun die KORREKTE Gewinnwahrscheinlichkeit aus Aufgabe

b

Daraus kannst du nun wieder ein Baumdiagramm zeichnen, und zwar mit den Ästen "A gewinnt" und "A gewinnt nicht".
Und das ganze dreimal hintereinander. Dann suchst die die Möglichkeiten aus, in denen A öfter gewonnen hat als B.

MNightShyamamalama-sama-kun aktiv_icon

15:06 Uhr, 17.01.2011

Hallo nochmal!
Zuerst einmal vielen Dank für die Hilfe. Bei Aufgabe

b)

bringe ich bei Spieler

A, B

und Unentschieden jeweils eine Wahrscheinlichkeit von

\frac{1}{3} = 33 %

raus. Bei Aufgabe

c)

gewinnt Spieler A mit 50%iger Wahrscheinlichkeit häufiger als Spieler B. Ich hoffe, ich liege jetzt richtig mit meinen Ergebnissen.

hagman aktiv_icon

15:19 Uhr, 17.01.2011

Die Gewinnwahrscheinlichkeiten der Spieler lassen sich ohne weitere Voraussetzungen überhaupt nicht angeben.
Man müsste wissen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Spieler sich jeweils für welchen Zug entscheiden und ob ihrer Entscheidungen unabhängig voneinander sind (von Abhängigkeiten vom Ergebnis zurückliegender Runden ganz zu schweigen)

AndreasBL aktiv_icon

15:20 Uhr, 17.01.2011

zu Aufgabe

b)

mit der korrigierten Lösung bin ich einverstanden :-)

zu Aufgabe

c)

Leider daneben.

Aber du weißt ja nun, dass Spieler A mit einer Wahrscheinlichkeit von

p = \frac{1}{3}

gewinnt. Das heißt zugleich, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit

1 - p = \frac{2}{3}

verliert.

Überleg mal so: die Wahrscheinlichkeit, EIN Spiel zu gewinnen, liegt bei

\frac{1}{3}

.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Spiele in Folge zu gewinnen, ergibt sich aus der Multiplikation dieser Wahrscheinlichkeit mit sich selber

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

Da nun aber drei Spiele gespielt werden, A aber nicht alle drei sondern MINDESTENS zwei gewinnen muss, gibt es mehrere Möglichkeiten für A.

Dazu malst du dir am besten wieder ein Baumdiagramm auf, jeweils mit den Ästen "A gewinnt" mit einer Wahrscheinlichkeit von

\frac{1}{3}

und "A gewinnt nicht" mit einer Wahrscheinlichkeit von

\frac{2}{3}

.

Wenn du den Baum fertig hast, erhältst du am Ende 8 mögliche Spielausgänge, eine davon wäre zum Beispiel "A gewinnt nicht, A gewinnt nicht, A gewinnt nicht".
Du musst nun jede dieser 8 Möglichkeiten prüfen, ob A MINDESTENS zweimal gewonnen hat.

Und dann zählst du die Wahrscheinlichkeiten zusammen.

AndreasBL aktiv_icon

15:31 Uhr, 17.01.2011

\Rightarrow

hagman

Es geht hier um Schulmathematik und nicht um Psychologie oder Spieltheorie auf Universitätsniveau.
Daher sollte man das Ganze nicht versuchen zu verkomplizieren.

hagman aktiv_icon

15:35 Uhr, 17.01.2011

Kommt bei Schulmathematik denn heraus, dass man beim Lotto mit

50 %

Wahrscheinlichkeit einen 6er hat, da es doch nur "gewonnen" und "nicht gewonnen" als Möglichkeiten gibt?

AndreasBL aktiv_icon

15:51 Uhr, 17.01.2011

OK, ich muss mich korrigieren.
Ich habe nämlich jene Fälle außer Acht gelassen, in denen es Unentschieden gibt.
Demzufolge kann EIN Gewinn von A auch ausreichen, wenn zweimal unentschieden fällt.

Aufgabe

c)

lautete ja:

A und

B

spielen dreimal gegeneinander.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A häufiger als B?

Wann gewinnt A häufiger als B?

A gewinnt dreimal:
A gewinnt, A gewinnt, A gewinnt

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

A gewinnt zweimal:

A gewinnt, A gewinnt, Unentschieden

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

A gewinnt, A gewinnt,

B

gewinnt

= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

A gewinnt,

B

gewinnt, A gewinnt

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

A gewinnt, Unentschieden, A gewinnt

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

B

gewinnt, A gewinnt, A gewinnt

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

A gewinnt einmal:

A gewinnt, Unentschieden, Unentschieden

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

Unentschieden, A gewinnt, Unentschieden

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

Unentschieden, Unentschieden, A gewinnt

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}

Macht zusammen:

\frac{9}{27} = \frac{1}{3}

Also mit einer Wahrscheinlichkeit von

\frac{9}{27} = \frac{1}{3}

gewinnt

A

in drei Spielen hintereinander häufiger als B.
Mit der gleichen Wahrscheinlichkeit würde übrigens auch

B

häufiger gewinnen als A.

MNightShyamamalama-sama-kun aktiv_icon

16:40 Uhr, 17.01.2011

Sorry,aber ich glaube, du hast bei der Spalte "A gewinnt zweimal" -unentschieden, A gewinnt, A gewinnt vergessen. Damit wären es doch

\frac{10}{27} = 37 %

AndreasBL aktiv_icon

17:36 Uhr, 17.01.2011

Ja, das stimmt, zu meinem Bedauern :-)

Aber nun hast du anscheinend verstanden, wie das ganze berechnet wird.

MNightShyamamalama-sama-kun aktiv_icon

17:45 Uhr, 17.01.2011

Danke,dass du so viel Geduld hattest! :-)

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