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Wahrscheinlichkeit Binomialverteilung

Schüler

Tags: B und C, Wahrscheinlichkeit

82Isa aktiv_icon

15:56 Uhr, 18.04.2013

A1:
Bei einer Tombola eines Schulfestes werden insgesamt 1000 Lose ausgegeben, 300 davon sind
Gewinnlose.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter 5 gekauften Losen
1) genau 2
2) mindestens 2
Gewinnlose zu haben?
b) Wie viele Lose muss man kaufen,um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mit mindestens einem
Gewinn rechnen zu können?
c) Wie groß müsste der Anteil p der Gewinnlose sein, damit man beim Kauf von 5 Losen mit
99%iger Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn rechnen kann.
(a)1) 0,31 2) 0,47; b) mind. 7 Lose; c) mind. 60%)

a konnte ich lösen

bei b und c fehlt mir irgendwie der Ansatz
Bitte um Hilfe.

Ma-Ma aktiv_icon

19:33 Uhr, 18.04.2013

Wir nutzen hier die Gegenwahrscheinlichkeit.

n =

Anzahl, k=Treffer

P (k = 0) + P (k \geq 1) = 100 %

P (k \geq 1) = 100 % - P (k = 0)

P (k \geq 1) = 90 %

90 % = 100 % - P (k = 0)

0,9 = 1 - P (k = 0)

P (k = 0) = 0,1

Bernoulligleichung für 0 Treffer

(k = 0)

aufstellen

. .

0,1 = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot ... ... ... ... ... ... ... .

sm1kb aktiv_icon

20:04 Uhr, 18.04.2013

Hallo 82Isa,
zu c)
ebenfalls mit der Gegenwahrscheinlichkeit:

1 - (\begin{array}{rcl} 5 \\ 0 \end{array}) p^{0} \cdot (1 - p)^{5} \geq 0.99

führt auf

p \geq 1 - 0.3981 = 0.6019

.
Gruß von sm1kb

82Isa aktiv_icon

14:12 Uhr, 22.04.2013

Danke, für deine Hilfe.
Kannst du mir bitte nochmals erklären wie man eine Bernelligleichung oder so aufstellt bzw. bei c das genaue umformen (schrittweise)
Irgendwie klappt das umformen bei mir nicht. War bisweilen leider immer schon ein Problem, weil ich mir trotz üben immer noch schwer damit tue.

sm1kb aktiv_icon

15:25 Uhr, 22.04.2013

Hallo 82Isa,
die Bernoulliverteilung kennt nur wahr oder falsch bzw. Gewinn oder Niete. Wenn 300 von 1000 gewinnen, dann ist die Trefferwahrscheinlichkeit

p = 0.3

. Bei c) soll aber

p

berechnet werden. 5 Lose werden gekauft, also ist

n = 5

;

k

ist die Anzahl der Treffer.
Mit 99% Wahrscheinlichkeit kann man mit mindestens einem Gewinn rechnen, bzw. mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-99% kann man mit Null Gewinnen rechnen. Die Bernoulliformel ist:

P (X = k) = (\begin{array}{rcl} n \\ k \end{array}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{(n - k)}

.
Also sind Null Gewinne:

(\begin{array}{rcl} 5 \\ 0 \end{array}) \cdot p^{0} \cdot (1 - p)^{(5 - 0)} \leq 1 - 0.99

; d.h.

5 \cdot 1 \cdot (1 - p)^{5} \leq 0.01

; d.h.

1 - p \leq 0.3981

;
d.h.

- 1 + p \geq - 0.3981

und

p \geq 1 - 0.3981 = 0.6019

.
Gruß von sm1kb

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