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Wahrscheinlichkeit ( Buchstaben ziehen)

Schüler Gymnasium,

Tags: buchstaben ziehen, Wahrscheinlichkeit

cinderella94 aktiv_icon

15:33 Uhr, 15.02.2012

Hallo. Ich muss diese Aufgabe bearbeiten und komme leider null weiter .. kann mir jemand helfen ?

Jeder der buchstaben des worts SIMON wird auf ein DIN-A7-Kärtchen geschrieben. Die fünf Kärtchen werden gemischt und dann nebeneinander gelegt.
a) finde herau, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Kärchten in der Reihenfolge S.I.M.O.N gelegt werden
b) Das oben beschriebene Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entsteht dabei der Namen S.I.M.O.N ?
(1) mindestens einmal ? (2) beide male ?

ich weiß das ist ein ganz schöner Brocken, aber es wäre wirklich sehr nett wenn mir jemand helfen könnte ...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KalleMarx aktiv_icon

16:06 Uhr, 15.02.2012

Moin Cinderella!

Die Aufgabe klingt für Ungeübte viel schwerer als sie ist.

Erstmal ein paar Denkanstöße zu a):

Überlege Dir zunächst, wie eine Wahrscheinlichkeit allgemein definiert ist. Als anschauliches Beispiel kannst Du Dir eine Münze vorstellen, die Du wirfst. Die Münze kann Kopf oder Zahl zeigen - es gibt also zwei verschiedene Ereignisse. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt Zahl? Die gleiche Überlegung kannst Du z.B. für einen Würfel oder andere Spiele anstellen.

Überlege Dir als nächstes, auf wieviele verschiedene Möglichkeiten Du drei verschiedene Buchstaben (nehmen wir S I und M) anordnen kannst. Diese Anzahl ist die Anzahl Deiner verschiedenen Ereignisse wie die zwei oben bei der Münze.

Anschließend musst Du von den drei Buchstaben auf fünf "erweitern". Erweitern nicht im Sinne der Bruchrechnung natürlich, sondern das Stichwort heißt Kombinatorik.

Klar soweit?

cinderella94 aktiv_icon

16:17 Uhr, 15.02.2012

ich würde also sagen bei a) 1/120
und bei b (1) würde ich sagen 1/120 mal 1/120
aber bei b (2) komm ich immernoch nicht weiter ...

KalleMarx aktiv_icon

16:48 Uhr, 15.02.2012

Jawoll!

a) ist korrekt. Was hast Du gerechnet?

b) ist leider noch nicht richtig - ganz so einfach kann man das nicht rechnen.

Bei b(1) ist doch gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Buchstabenfolge einmal oder zweimal vorkommt. Du musst also die Wahrscheinlichkeiten für einmaliges Auftreten und für zweimaliges Auftreten berechnen und diese addieren.

Hast Du schon von Bernoulli-Experimenten gehört? Ein solches ist dieses nämlich und es erfordert daher eine ganz bestimmte Rechenweise.

cinderella94 aktiv_icon

17:02 Uhr, 15.02.2012

bei a hab ich 1/ 5! gemacht weil wenn man das 1. mal zieht ist die chance 1/5. beim 2. mal ist sie 1/4 , beim 3. mal ist sie 1/3 etc... also 5!

und bei b) komm ich nicht weiter ....
nein von diesen experimenten hab ich noch nichts gehört.

KalleMarx aktiv_icon

17:56 Uhr, 15.02.2012

O.k., Deine Rechnung bei a) ist ja soweit richtig.
Ich formuliere das mal allgemeiner: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist der Quotient aus der Anzahl der einzelnen Ereignisse, die betrachtet werden (hier die Buchstabenreihenfolge SIMON) und der Gesamtanzahl aller möglichen Ergebnisse.
Man dividiert also die Anzahl der Buchstabenfolgen, die SIMON lauten durch die Anzahl der Buchstabenfolgen, die überhaupt aus diesen fünf Buchstaben zu erstellen sind. Da keine Wiederholung zugelassen wird, ist letztere in der Tat

5!

und erstere natürlich 1. Also

P (S I M O N) = \frac{1}{5!}

.

Nun zu b(1)
Ein Bernoulli-Experiment wird durch folgende Eigenschaften charakterisiert:
- Es können genau zwei Ergebnisse auftretent:

A

und

\overline{A}

(letzteres bedeutet "nicht A").
- Das Ereignis

A

tritt über den ganzen Versuch mit der konstanten Wahrscheinlichkeit

p

auf.
- Da

\overline{A}

das Gegenereignis zu

A

ist, tritt ist seine Wahrscheinlichkeit

1 - p

und auch diese bleibt über den ganzen Versuch konstant.

Das denkbar einfachste Bernoulli-Experiment ist das mehrfache Werfen einer Münze: Wir nennen das Ereignis "Kopf"

A

und das Ereignis "Zahl"

\overline{A}

. Stell Dir vor, Du wirfst eine ideale Münze 10 mal. Dann ist bei jedem dieser Würfe die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Kopf"

p_{A} = \frac{1}{2}

. Natürlich gilt dies auch für das Ereignis "Zahl":

p_{\overline{A}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

.

Die Kenntnis über die einzelne Trefferwahrscheinlichkeit reicht aber nicht aus. Denn wir führen das Experiment

n

mal durch davon wollen wir

k

mal (oder wie bei b(1) mindestens

k

mal das Ereignis

A

haben. Wieder mit dem Münzbeispiel: Du wirfst 10 mal die Münze und dabei soll genau 2 mal "Kopf" fallen. Das bedeutet natürlich, daß 8 mal "Zahl" fallen muss.Wir müssen nun zuerst berechnen, wieviele Möglichkeiten es gibt, 2 mal "Kopf" und 8 mal "Zahl" zu kombinieren. Das sind offensichtlich einige, nämlich genau 45.
Wie kommt man darauf? Diese Art der Anordnungsmöglichkeiten ist eine "Kombination" und die berechnet man mit dem Binomialkoeffizienten, der als "n über k" gesprochen,

(\binom{n}{k})

geschrieben und (von Hand) wie folgt berechnet wird:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

.
Dabei ist

n

die Gesamtanzahl der Versuche und

k

die Anzahl der Treffer. Für das Münzbeispiel also:

1 (\binom{0}{2}) = \frac{10!}{(8)! \cdot 2!} = 45

. Auf vielen Schultaschenrechnern gibt es auch eine spezielle Taste für diesen Binomialkoeffiezienten.

Gut soweit. Kombination müssen wir nun noch mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ereignisse multiplizieren, wobei jede dieser Wahrscheinlichkeiten mit der Häufigkeit ihres entsprechenden Ereignisses zu potenzieren ist. Für das Münzexperiment mit genau zweimal Kopf gilt:

P (2 x A) = 1 (\binom{0}{2}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}

.

Die allgemeine Formel lautet:

P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

.
In Worten:
Die Wahrscheinlichkeit, daß bei

n

Versuchen das Ereignis

A

mit der Wahrscheinlichkeit

p

genau

k

mal auftritt ist gleich der Anzahl der Kombinationen von

k

aus

n

multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit

p

hoch

k

multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit

(1 - p)

hoch

(n - k)

.

Zurück zu Deiner Aufgabe:
Wenn Du nun die Wahrscheinlichkeit berechnen möchtest, daß das Wort SIMON bei zweimaligem Spielen genau einmal auftaucht, rechnest Du:

P (1 x S I M O N) = (\binom{2}{1}) \cdot {(\frac{1}{120})}^{1} \cdot {(1 - \frac{1}{120})}^{2 - 1}

= 2 \cdot \frac{1}{120} \cdot \frac{119}{120}

.

Und die Wahrscheinlichkeit, daß das Wort SIMON genau zweimal auftaucht, ist:

P (2 x S I M O N) = (\binom{2}{2}) \cdot {(\frac{1}{120})}^{2} \cdot {(1 - \frac{1}{120})}^{2 - 2}

= 1 \cdot {(\frac{1}{120})}^{2}

.

Ich habe gerade keinen Taschenrechner zur Hand, aber das bekommst Du hin, oder?
Die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß SIMON ein oder zweimal auftaucht - also mindestens einmal, was in Aufgabe b(1) gefragt war.
b(2) ist damit auch schon erledigt, denn das ist ja die zweite der beiden Rechnungen.

Klar soweit?

cinderella94 aktiv_icon

18:19 Uhr, 15.02.2012

wow. vielen vielen dank für deine Hilfe !
Danke dass du dir die zeit genommen hast und mir das sooo ausführlich erklärt hast !
ja ich habs verstanden und werd das jetzt mal so ausrechnen :-)
vielen dank :-)

KalleMarx aktiv_icon

18:20 Uhr, 15.02.2012

Das hört man doch gern!

Poste Dein Ergebnis gern noch, ich schau noch mal drauf wenn Du magst.

cinderella94 aktiv_icon

18:31 Uhr, 15.02.2012

239/14400 ?

KalleMarx aktiv_icon

18:45 Uhr, 15.02.2012

Korrekt, das sind also etwa

1, 66 %

cinderella94 aktiv_icon

19:09 Uhr, 15.02.2012

ok, also nochmals : vielen dank :-)!

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