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Wahrscheinlichkeit Einheitsintervall

Universität / Fachhochschule

Tags: Wahrscheinlichkeit

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16:20 Uhr, 04.06.2023

Seien

U_{1}

und

U_{2}

zwei unabhängige, uniform auf dem Einheitsintervall

I := [0, 1]

verteilte Zufallsvariable.
Sie zerlegen

I

in drei Teilintervalle

I_{1}, I_{2}

und

I_{3}

.

Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Längen von

I_{1}, I_{2}

und

I_{3}

alle kleiner als

\frac{1}{2}

sind, ist

\frac{1}{4}

Ich wäre für einen Ansatz dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:52 Uhr, 04.06.2023

Hallo,

es werden zufällig zwei Punkte

X

und

Y

auf dem Einheitsintervall I bestimmt. Dabei sind X und Y gleichverteilt auf dem Intervall I.

1. Fall:

Y > X

Hinzu kommen noch die Bedingungen

Y < \frac{1}{2}

und

X > 0

. Also ist

P (Y > X \cap Y < \frac{1}{2} \cap X > 0) = \int_{0}^{0, 5} \int_{x}^{0, 5} 1 d y d x

2. Fall:

Y < X

Aufgrund der Symmetrie ist die W'keit genauso groß wie im Fall 1.

Gruß
pivot

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20:14 Uhr, 04.06.2023

Vielen Dank pivot

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20:15 Uhr, 04.06.2023

Gerne. Bitte abhaken, wenn alles klar ist.

nadien aktiv_icon

20:18 Uhr, 04.06.2023

als beantwortet abgehackt.

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20:58 Uhr, 04.06.2023

Supi. Dann kann es für mich wieder nach draußen gehen.

HAL9000

22:38 Uhr, 04.06.2023

@pivot

Mit

X, Y

meinst du aber nicht die

U_{1}, U_{2}

aus der Aufgabenstellung, oder?

Weil in jenem Fall deine geforderten Ungleichungen an

X, Y

im ersten Fall keinesfalls bedeuten, dass alle drei Intervalllängen kleiner als

\frac{1}{2}

sind, ganz im Gegenteil:

In dem Szenario ist sicher

∣ I_{3} ∣ = 1 - Y \geq \frac{1}{2}

.

====================================================================

Grundsätzlich ist es so: Die drei Teilintervalle sind

I_{1} = [0, min (U_{1}, U_{2})]

I_{2} = [min (U_{1}, U_{2}), max (U_{1}, U_{2})]

I_{3} = [max (U_{1}, U_{2}), 1]

Damit alle drei Intervalllängen kleiner

\frac{1}{2}

sind, müssen

a) im Fall

U_{1} < U_{2}

die Ungleichungen

U_{1} < \frac{1}{2}

U_{2} - U_{1} < \frac{1}{2}

und

1 - U_{2} < \frac{1}{2}

,

sowie

b) im Fall

U_{1} > U_{2}

die Ungleichungen

U_{2} < \frac{1}{2}

U_{1} - U_{2} < \frac{1}{2}

und

1 - U_{1} < \frac{1}{2}

gelten. Offenbar sind beide Fälle disjunkt und zueinander symmetrisch, besitzen also dieselbe Wahrscheinlichkeit

p

. Für a) gilt damit

p = P (U_{1} < \frac{1}{2}, \frac{1}{2} < U_{2} < U_{1} + \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{\frac{1}{2}}^{u_{1} + \frac{1}{2}} 1 d u_{2} d u_{1} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} u_{1} d u_{1} = \frac{1}{8}

Zusammen mit b) ergibt das Gesamtwahrscheinlichkeit

2 p = \frac{1}{4}

1572213

1572191

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