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Wahrscheinlichkeit Forellen
Universität / Fachhochschule
Tags: Wahrscheinlichkeit
 
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Hallo zusammen, ich habe bei dieser Aufgabe leider keinen Ansatz. Kann da emand helfen? In einem kleinen See fängt man 3 Forellen, markiert sie und setzt sie wieder aus. Später fängt man 5 Forellen und findet darunter zwei markierte. a) Wie viele Forellen sind mindestens im See? b) Angenommen in dem See befinden sich insgesamt n Forellen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit unter fünf Forellen zwei markierte zu fangen? c) Schätzen Sie die Anzahl der Forellen in dem See und begründen Sie Ihre Vermutung. Dankeschön :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, bei der a) sollte klar sein, dass im See 3 markierte Forellen sind. Also ... Bei der b) sollte einem die hypergeometrische Verteilung ins Auge springen. Gruß pivot |
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a) Auf jeden Fall 5 Forellen wenn 5 gefangen wurden. Bei der b) würde ich mit der hypergeometrischen Verteilung tippen man erhält: Grüße :-) |
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>>a) Auf jeden Fall 5 Forellen wenn 5 gefangen wurden.<< Es sind aber nur 2 markierte darunter. Die b) habe ich auch so. |
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Zu c) Es gibt verschiedene Modelle zur Schätzung der Fischanzahl : Basierend auf "Vorbereitung" b) soll hier vermutlich die Maximum-Likelihood-Methode zur Anwendung kommen, d.h., diejenige Fischzahl genommen werden, für die Wahrscheinlichkeit b) maximal wird. Eine naheliegende andere Möglichkeit wäre, gemäß Momentenmethode zu schätzen, d.h., dasjenige zu nehmen, für das die erwartete Fangzahl markierter Fische dem beobachteten Wert 2 entspricht. Beide Methoden liefern im vorliegenden Fall allerdings nahezu denselben Schätzwert. |
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Wie meinst du das "Es sind aber nur 2 markierte darunter." Wenn doch 5 Fische gefangen werden, dann müssten doch auch minimal 5 in dem See sein oder verstehe ich hier etwas falsch? Hallo Hal, Wie müsste das denn mittels Maximum Likelihood dann berechnet werden? Dabei benötigt man doch immer eine Variable und einen Parameter ...? Grüße :-) |
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> Wie meinst du das "Es sind aber nur 2 markierte darunter." Wenn doch 5 Fische gefangen werden, dann müssten doch auch minimal 5 in dem See sein oder verstehe ich hier etwas falsch? Es gibt aber genau 3 markierte Fische im See. Wenn unter den 5 gefangenen Fischen nun genau 2 markierte Fische sind, dann schwimmt noch ein markierter Fisch frei herum (neben ggfs weiteren unmarkierten Fischen). Daher gibt es insgesamt sogar mindestens 5+1=6 Fische im See - das hat pivot sicherlich gemeint. ;-) |
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Achso alles klar, jetzt habe ich es verstanden. Noch zu der (c) Wie müsste das denn mittels Maximum Likelihood dann berechnet werden? Man benötigt doch immer eine Variable und einen Parameter bei der Maximum Likelihood Methode. Hier ist allerdings nur das n gegeben ... Vielen Dank! :-) |
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Zu Maximum-Likelihood: Das IST der zu schätzende Parameter. Du müsstest so bestimmen, dass die unter ermittelte Wahrscheinlichkeit maximal wird. Ein etwas intuitiverer Ansatz zu Der Anteil der markierten Forellen beträgt . Da ich unter 5 herausgefischten Forellen 2 markierte gefunden habe, würde ich den Anteil der markierten Forellen mit schätzen. |
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Hallo Matlog und danke für deine Antwort. Wenn ich es mit der Maximum Likelihood Methode mache müsste ich doch erstmal zusehen das ich die Binomialkoeffizienten wegbekomme. Das wird aber alles ziemlich kompliziert oder nicht? LG |
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Zur Einordnung: Der von Matlog "intuitiver" genannte Ansatz entspricht der Momentenmethode (siehe meine obige Anmerkung). -------------------------------------------------------------- Ok, wir haben für als Wahrscheinlichkeit, dass man bei Fischen im See bei 5 gefangenenen Fischen auf genau 2 markierte trifft. Zunächst können wir uns der Binomialkoeffizienten entledigen: . Dies gilt es zu maximieren. Dazu mein Vorschlag: ist äquivalent zu . D.h., solange ist ist streng monoton wachsend, während es dann für streng monoton fällt. Damit liegt das Maximum bei . |
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