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Wahrscheinlichkeit Kombinatorik

Schüler Berufsmaturitätsschule,

Tags: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

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10:30 Uhr, 19.02.2018

An einer elektrischen Tür hat es vier Schalter, die man entweder ein- oder ausschalten kann. Du weisst, dass die Türe öffnet, wenn zwei Schalter eingeschaltet sind. Du weisst aber nicht welche zwei.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du per Zufall die richtige Kombination wählst.

Ich weiss nicht, wie ich diese Kombinationen am besten herausfinden soll. Es ist so aufwendig und verwirrend. Gibt es hier nicht eine einfachere Methode?

Gruss
Atorian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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10:44 Uhr, 19.02.2018

Ich mache mir immer das Leben schwer, es gibt bestimmt eine einfachere Methode.

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10:50 Uhr, 19.02.2018

Es ist wie Lotto "2 aus 4". Du kannst dir die Schalter nummeriert denken.

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6

mögliche, richtige Kombinationen

- \to P = \frac{6}{2^{4}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

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10:54 Uhr, 19.02.2018

Schon wieder Binomialverteilung. Hmm, das kommt überall vor, ich muss mich unbedingt mal damit beschäftigen. Kannst du mir bitte erklären was Binomialverteilung ist, damit ich keine Probleme mehr bei solchen Aufgaben habe?

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10:58 Uhr, 19.02.2018

www.frustfrei-lernen.de/mathematik/binomialverteilung.html

www.frustfrei-lernen.de/mathematik/binomialkoeffizient.html

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11:16 Uhr, 19.02.2018

In meiner Lösung steht

\frac{1}{6}

. Was stimmt jetzt?

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11:28 Uhr, 19.02.2018

Sorry, Denkfehler von mir.

Lösung:

\frac{1}{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})} = \frac{1}{6}

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11:29 Uhr, 19.02.2018

Wie kommst du auf diese Lösung?

Ich verstehe einfach nicht, wieso ich dieses Thema nicht verstehe... ich kann so viel, aber bei diesem Thema kann ich einfach gar nichts mehr.

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11:36 Uhr, 19.02.2018

Es gibt 6 mögliche richtige Kombinationen, die man durchprobieren kann.
Eine davon ist die richtige. Man wird ja nicht alle

16

möglichen Kombis probieren, wenn nur 6 infrage kommen.

Roman-22

11:40 Uhr, 19.02.2018

Zunächst mal - diese Aufgabe hat weniger mit Binomialverteilung zu tun als mit Kombinatorik. Dort kommt beim Abzählen der Kombinationen ein Binomialkoeffizient vor. So ein Binomialkoeffizient kommt auch bei der Binomialverteilung vor.

Die Aufgabenstellung ist zu unklar beschrieben, sodass es unterschiedliche Möglichkeiten der Interpretation gibt.

1)

Die Tür geht auf, wenn zwei bestimmte Schalter geschlossen sind, OK.

1 a)

Geht sie nur dann auf, wenn die anderen beiden offen sind oder

1 b)

ist die Stellung der anderen beiden Schalter egal?

2)

Ich nehme an, dass zu Beginn alle Schalter aus sind.
Wenn per Zufall Schalter gewählt werden, wie geht das genau vor sich?

2 a)

Es dürfen nur genau zwei Schalter gewählt und betätigt werden.

2 b)

Es dürfen beliebig viele Schalter eingeschaltet werden.

Je nach Interpretation stellen sich natürlich unterschiedliche Ergebnisse ein.

1 a) & 2 a) :

(Ich vermute, dass die Aufgabe so gemeint ist):

p = \frac{1}{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})} = \frac{1}{6}

1 a) & 2 b) : p = \frac{1}{2^{4}} = \frac{1}{16}

1 b) & 2 a) :

ist genau so wie

1 a) & 2 a) \to p = \frac{1}{6}

1 b) & 2 b) : p = \frac{2^{2}}{2^{4}} = \frac{1}{4}

Was supporter da mit seinen

\frac{3}{8}

berechnet zu haben glaubt, kann ich dir nicht sagen. Ich hoffe er weiß es wenigstens selbst.
EDIT: Sehe gerade, dass er seinen Irrtum bemerkt hat.

Wie oben schon angedeutet geht es hier nicht um Wahrscheinlichkeitsverteilungen, sondern um das Abzählen von Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich dann bei Ereignissen, ie alle gleichwahrscheinlich sind durch

p = \frac{A n z a h l d e r g u e n s t i g e n}{A n z a h l d e r m o e g l i c h e n}

Diese Abzählerei wird in der Mathematik von der sog. Kombinatorik erledigt und in dieses Kapitel müsstest du dich eben einlesen. Die gibts zunächst mal die Begriffe Permutation, Kombination und Variation und alle drei dann noch mit oder ohne Wiederholung. Da gibts jeweils eine Formel dafür, die man sich tunlichst einprägen sollte, und die man dann hoffentlich richtig anwendet. Das sollte für den Anfang reichen - später gibts dort noch viel mehr zu entdecken.
Du solltest dich also in das Kapitel Kombinatorik ein wenig einlesen.
Aber alle diese Formeln fallen ja nicht vom Himmel, die kann man sich ja auch selbst überlegen.
Zurück zu deinem aktuellen Beispiel. Ich gehe jetzt von der Interpretation

1 a) & 2 a)

aus.
Man wählt genau zwei Schalter und frägt sich, obs genau die zwei richtigen sind.
Es gibt also nur eine richtige ("günstige") Wahl, daher steht im Zähler schon mal ein 1. Aber wie viele Möglichkeiten gibt es, aus vier Elementen (Schaltern) zwei zu wählen?
Den ersten Schalter kann man offensichtlich auf 4 verschiedene Arten wählen, denn zweiten dann aus den verbleibenden 3. Also haben wir schon mal

4 \cdot 3 = 12

Möglichkeiten. Für unsere Aufgabe spielt aber die Reihenfolge keine Rolle, da ist es egal, ob ich zB zuerst Schalter 2 wähle und dann Schalter 4 oder erst Nr 4 und dann Nr 2. Mit unseren bisher errechneten

12

Möglichkeiten haben wir also das jeweils doppelt gezählt, halbieren die

12

deshalb und kommen im Nenner daher letztlich auf 6.

1415672

1415656

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